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第02讲导数与函数的单调性
目录
01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 1
02体系构建·思维可视 2
03核心突破·靶向攻坚 2
知能解码 3
知识点1函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 3
知识点2求已知函数（不含参）的单调区间 4
知识点3由函数的单调性求参数的取值范围的方法 5
知识点4含参问题讨论单调性 5
题型破译 6
题型1利用导数求函数的单调区间（不含参） 6
【方法技巧】求单调区间步骤
题型2已知函数在区间上单调 8
【方法技巧】已知函数在区间上单调等价条件
题型3已知函数在区间上存在单调区间 9
【方法技巧】已知函数在区间上存在单调区间等价条件
题型4已知函数在区间上不单调 12
【方法技巧】已知函数在区间上不单调等价条件
题型5导函数与原函数图象的单调性 13
【方法技巧】导函数与原函数关系
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型）） 17
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型） 18
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型） 21
04真题溯源·考向感知 25
05课本典例·高考素材 28
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关系
（3）含参数单调性讨论
?单选题
?多选题
?填空题
?解答题
全国二卷T18（2）（i）（5分）
全国甲卷（理）T20（1）（5分）
北京卷T20（1）（4分）
全国乙卷（文）T20（2）（7分）
全国甲卷（文）T20（1）（5分）
全国I卷T19（1）（5分）
全国II卷T6（5分）
北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
（3）分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏
知识点1函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
自主检测已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′
??
??B．??
C．?? D．??
【答案】A
【详解】由图可知y=f′x在?1,0
则y=fx的切线斜率在?1,0上递减，在0,1
选项B，y=fx的切线斜率在?1,0上递增，在0,1
选项C，y=fx的切线斜率在?1,1
选项D，y=fx的切线斜率在?1,1
故选：A．
知识点2求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数fx=x+2cos
【答案】π6,5π6（写成π6,
【详解】因为fx=x+2cos
令f′x≤0，得sin
所以fx的单调递减区间是π
故答案为：π
知识点3由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，
解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，
解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
自主检测已知函数fx=lnx?ax在区间
A．a≥1 B．a1 C．a≥13
【答案】A
【详解】因为fx=ln
因为fx在区间1,3
所以f′x≤0，即1x?a≤0
因为y=1x在1,3上单调递减，所以ymax
故选：A.
知识点4含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.