解答题滚动练5
1.(2017·桂林18中模拟)如图，已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB＝AE＝1，AF⊥BE.
(1)求证：AF⊥平面BDE；
(2)求多面体ABCDEF的体积.
(1)证明连接AC交BD于点O，则BD⊥AC，
因为AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，则BD⊥AE，
又AC∩AE＝A，所以BD⊥平面EACF，
又AF?平面EACF，则BD⊥AF，
又AF⊥BE，BD∩BE＝B，
所以AF⊥平面BDE.
(2)解连接EO，由(1)知，AF⊥平面BDE，EO?平面
BDE，得EO⊥AF，所以∠AEO＝∠CAF，所以tan∠AEO＝tan∠CAF，即eq\f(AO,AE)＝eq\f(FC,AC)，所以FC＝eq\f(1,2).设所求多面体ABCDEF的体积为V，
则V＝VB－ACFE＋VD－ACFE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4).
2.某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
月份i
7
8
9
10
11
12
销售单价xi(元)
9
9.5
10
10.5
11
8
销售量yi(件)
11
10
8
6
5
14
(1)根据7至11月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否理想？
(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润＝销售收入－成本)
参考公式：线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，参考数据：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝392，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝502.5.
解(1)因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，
eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8，
所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(392－5×10×8,502.5－5×102)＝－3.2，
则eq\o(a,\s\up6(^))＝8－(－3.2)×10＝40，
于是y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40.
(2)当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2×8＋40＝14.4，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(y,\s\up6(^))－y))＝14.4－14＝0.4＜0.5，
所以可以认为所得到的线性回归方程是理想的.
(3)令销售利润为W，则W＝(x－2.5)(－3.2x＋40)＝－3.2x2＋48x－100(2.5＜x＜12.5)，
因为W＝3.2x(－x＋15)－100≤3.2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－x＋15,2)))2－100＝80，
当且仅当x＝－x＋15，即x＝7.5时，W取最大值.
所以该配件的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解(1)因为a1＝1，an＋1－an＝2，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又当n＝1时，b1＝S1＝2－b1，所以b1＝1，
当n≥2时，Sn＝2－bn， ①
Sn－1＝2－bn－1， ②
由①－②，得bn＝－bn＋bn－1，即eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(1,2)，
所以{bn}是首项为1，公比为eq