专题43直线与双曲线
知识必备
1直线与双曲线
（1）直线与双曲线公共点
直线l：y=kxm与双曲线x
方法一：代数计算
联立消元y=kx
（1）当b2a2
直线l与渐近线平行或重合，此时它与双曲线有一个公共点或零个公共点；
（2）当b2a2
方法二：几何图形
画出双曲线与直线的草图，根据直线与双曲线的渐近线的位置关系与双曲线的性质直接得到公共点的个数，只能进行定性判断，无法定量计算.
（2）弦长问题
两根差公式：若x1、x
则
求弦长方法：
法一：联立弦所在直线方程与双曲线方程，求出两个交点坐标，再利用两点间距离公式来求.
法二：若弦所在直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为x1
则弦长公式为AB=
双曲线中过焦点且交于同支上的直线形成最短的弦长为通径：2b
双曲线中过焦点且交于异支上的直线形成最短的弦长为实轴长：2a.
高者数学总复习（基础篇）
2双曲线中的硬解公式
以焦点在x轴为例，双曲线方程为x2a2y2
消去y得：A
消去x得：A
进一步得以下硬解公式：
（1）判别式公式：Δ
因为4a2b
若A2
若A2
若A2
（2）韦达定理公式：x
（3）弦中点坐标公式：AC
（4）弦长公式：PQ
3二次曲线硬解定理
二次曲线方程为x2my2n
消去y得：?
消去x得：?
进一步得到硬解公式：
（1）判别式公式：Δ
（2）韦达定理公式
x
（3）弦中点坐标公式：CAm
（4）弦长公式：EF
典型例题
考点一直线与双曲线的位置关系
【例题1】过点5，94作直线，使它与双曲线
A1条 B2条
C3条 D4条
【例题2】直线y=kx3k4与双曲线x2
A1 B2
C3 D4
【例题3】直线y=bax
A1 B2
C1或2 D0
【例题4】已知直线y=kx1与双曲线x2y
（1）没有公共点；（2）有两个公共点；（3）只有一个公共点；（4）交于异支两点；（5）交于右支两点.
【例题5】已知直线l：x=ty2和双曲线C：y2x2=8，若
A62，62
C0，62 D6
【例题6】曲线x216y
A3 B2
C1 D0
【例题7】已知双曲线x2my
A1，5 B1，5
C1，2 D1，2
【例题8】已知直线L：y=12xm与曲线
A2，2 B2，
C1，2 D1，3
考点二双曲线的切线问题
【例题9】设双曲线C：x22y2=1上点P3，1
【例题10】已知椭圆x225y29=1与双曲线C：x2m
【例题11】在双曲线9x225
考点三双曲线的弦长问题
【例题12】斜率为1的直线经过双曲线x2y23
【例题13】已知双曲线的方程是x24y2=1，直线l的倾斜角为π
【例题14】已知双曲线C：x2a2y2b2=1a0，b0的左，右焦点分别为F1，F
【例题15】已知双曲线C：2a2y2b2=1a0，b0的离心率为e，直线l：y=x
【例题16】直线l过双曲线C：x
（1）若l只与C的左支相交，则弦长的最小值为________
（2）若l与C的左右两支都相交，则弦长的最小值为________
（3）设直线l截双曲线C所得的弦长为d：
若d=5，则满足条件的直线l有条；若d=8，则满足条件的直线l有条；
若d=10，则满足条件的直线l有条.