2021年北京大学强基计划数学试题
本试卷共20题，仅供参考.
已知为的外心，、与的外接圆交于、．若，则________．
2．方程的正整数解的组数为________．
3．若实数，，，满足，则的最小值为________．
4．已知，则的个位数字是________．
若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为________．
6．已知实数．数列满足：若，则，若，则．现知，则可能的的个数为________．
7．设．若，则的最小值为________．
8．已知、、是三个不全相等的实数且满足、、．则________．
9．如图，为中的平分线．过作的垂线，过作交于点．若与交于点，且，，．则________．
10．如果一个十位数的各位数字之和为81，则称是一个“小猿数”．则小猿数的个数为________．
设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前项和为的前项和为．则的值为________．
12．设正整数，且是完全平方数．则可能的的个数为________．
13．方程的整数解的组数为________．
14．现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则，，这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是________．
15．设正整数，均不大于2021，且．则这样的数组个数为________．
16．有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等．则这样的的个数是________．
17．若，，为非负实数，且，则的最小值为________．
18．已知数列满足，．数列满足，．若正整数满足，则的最小值为________．
19．若为非负整数，则方程的解有________组．
已知，且，求的最小值.
2023年北京大学强基计划测试数学试题
考试时间2023年6月29日10：00-11：00，总共20道单选题，时间为1小时
1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（）
A.只能是有理复数或半有理复数
B.只能是无理复数或伴有理复数
C.只能是半有理复数
D.以上都不对
2.方程在上解得个数为______.
3.数列满足：，则除以7的余数为（）
A.1B.2C.4D.以上都不对
4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______.
5．函数在上最大值是_______.
6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个.
7.方程的实根个数为_____.
8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域.
9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______.
10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______.
11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______.
12.已知点，延长至使，那么点到距离最大值和最小值之积为______.
13.三个互不相等的正整数最大公约数为20，最小公倍数为20000，那么这样的不同的正整数组的个数为______.
14.由构成的集合元素的个数为______.
15.已知集合，甲虫第一天在原点,第天从第天位置出发沿向量移动，其中，用表示第天甲虫可能在多少个不同的位置上，则______.
16.方程解得个数为______.
17.已知均为正整数，且均为正整数，则的最大值和最小值之和为______.
18.已知，且是的一个排列，则
得到的不同数的个数为______.
19.已知正整数且，则在取得最大值的情况下，的最大值为______.
20.由50个队伍进行排球单循环比赛，胜一局积1分，负一局积0分，且任取27支队伍能找到一个全部战胜其余26支队伍和一支全部负于其余26支队伍的，问这50支队伍总共最少有______种不同的积分.
2023年北京大学强基计划测试数学试题解析
1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（）
A.只能是有理复数或半有理复数
B.只能是无理复数或伴有理复数
C.只能是半有理复数
D.以上都不对
解：D
重心为有理复数的例子：
重心为无理复数的例子：
重心为半有理复数的例子：