2022年北京大学强基计划笔试数学试题
备注：数学一共20道题目
1.已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意整理可得：，构建佩尔方程，先结合题意得，再根据广义佩尔方程通解可得，再根据特征方程可得二阶线性递推公式，代入检验判断．
【详解】设
化简得到，即，
由于为佩尔方程的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，
对其任意一组解，由于，所以为被3整除的正奇数.
则，知这样的均为正整数.
由于，知，所以，
为佩尔方程的基本解
由佩尔方程的通解知，
由特征方程知其所对应的递推公式为，得，
因此仅满足条件，此时.
所以这样的为1个.
故答案为：1．
2.已知凸四边形满足，则符合题意且不相似的凸四边形的个数为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】先说明凸四边形是平行四边形，然后设对角线中点为,固定对角线，则点在固定的射线上，只需求出该射线上满足的点个数即可.由此借助圆幂定理以及正弦定理进行说明，可得到结论.
【详解】对凸四边形，由，有;
由，有,故四边形为平行四边形.
如图，设对角线中点为,下面固定对角线，则点在固定的射线上，
只需求出该射线上满足的点个数即可.
记过且与射线相切的圆为（这样的圆存在且唯一），切点为，
由圆幂定理知,从而.
首先说明.
该结论等价于，即.
设，知.在中，
由正弦定理，，即，
注意到，所以，且当时等号不成立，
故，结论得证.
则射线上在的左右两侧各有一个满足的点，
故满足条件的形状不同的凸四边形有两个，
故答案为：2.
3.已知正整数不超过2022且满足100整除，则这样的的个数为___________.
【答案】20
【解析】
【分析】由题意可得，进而得到，所以设，则，从而得，设，则，然后利用欧拉定理可求得结果
【详解】解：由于，所以.
显然，所以，所以，进而得到.
设，
则，由于，所以，即.
设，则.
则
由欧拉定理，，所以.
进而得到.
所以，所以.
因此这样的有20个.
故答案为：20
4.已知表示不超过的整数，如.已知，则（）
A.321 B.322 C.323 D.以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】记，则由其所对应的特征根方程知数列满足，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解
【详解】记，
则由其所对应的特征根方程知数列满足且，
依次可得，
而，所以，
所以，
所以.
故选：A
5.已知六位数，满足，则所有满足条件的六位数之和为___________.不必为三位数）
【答案】2065020
【解析】
【分析】假设，则，由此可得原命题等价于，即，求出，得到对应的六位数为，从而得到答案.
【详解】假设，则，
由此可得原命题等价于，即.
由于，所以，且，
所以，因此对应的有5种不同的取值，对应的六位数为，即.
这样的六位数之和为2065020.
故答案为：2065020.
6.已知整数满足，则的正整数取值个数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】由于均为整数，
所以为整数.
原命题即为求小于36的不同取值的个数.
分类讨论解得.
【详解】由于均为整数，
所以为整数.
因此只需，即.
原命题即为求小于36的不同取值的个数.
由柯西不等式知，
因此，
又因为与奇偶性相同，
所以的取值必为10到34之间的偶数.
下证不为8的倍数：
采用反证法，若否，则，
此时要么同为偶数要么同为奇数.
（i）同为偶数：设.
此时.
因为与奇偶性相同，
所以不可能为8的倍数.
（ii）同为奇数：
由于奇数的平方模8同余于1，所以，
所以不可能为8的倍数.
因此的取值必为10到34之间的偶数且不为8的倍数.
另一方面，设，
我们有，，
，
因而的取值为所有10到34之间不为8的倍数的偶数，
因此的不同取值为10个.
故答案为：10.
7.已知凸四边形满足：，则其内切圆半径取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先证明定理，根据，可得r的最大值，欲求最小值，只需使得S最小，只需使得最大即可，只需令最大即可，分析可得四边形分别趋向退化成边长为和的三角形，比较即可得r的最小值，即可得答案
【详解】先证明一个引理：平面上四边形的四边长分别记为，那么四边形
其中为四边形的半周长.
引理的证明：在和中分别应用余弦定理，有，
又，
于是可得，
两式平方相加，移项可得
整理即得.
回到本题中，一方面，
另一方面，欲求最小值，只需使得S最小，只需使得最大即可.
又因为，所以只需令最大即可.
设，有，
易知随增加而增加，随增加而增加，
所以只需比较和的情况即可，
此时四边形分别趋向退化成边长为和的三角形，经比较可得面积较小者为.故
综上，.
故答案为：