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文档摘要

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自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第三章向量空间

第三章向量空间

第01讲向量的基本概念、相关性与线性表示（一）

01向量的基本概念

知识点1：向量的概念

称为ｎ维列向量.

【注意】

①称为n维行向量.

②不特殊说明时候，向量一般指列向量.

③向量的本质和矩阵相同，是表格，但只有一行或一列.

【例】

『正确答案』

第1页

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【注意】

④是一个矩阵;

是一个数字.

⑤称为零向量，不同维数的零向量不相等.

知识点2：向量的运算

①向量相等：每一个对应的分量都相等.

②向量的加减：

③向量的数乘：

知识点3：向量的运算规律

【例】

『正确答案』

第2页

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【例】

『正确答案』

【本节总结】

1.向量的概念

2.向量的运算

3.向量的运算规律

02相关性与线性表示

知识点1：用向量表达#和##

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则#可以改写为

##可以改写为

【注意】

未知数的个数=系数矩阵列数=列向量个数

方程个数=系数矩阵行数=列向量维数

【例】

写出其对应的齐次线性方程组，并将两个方程组都改写为向量形式.

『正确答案』

改写后分别为

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【例题1】计算它的解，并用矩阵、向量两种形式表达该#

解为即只有零解.

知识点2：针对#的情况的结论

对矩阵而言，#可以表示为AX=0

AX=0只有零解r(A)=未知数的个数n

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对向量而言，#可以表示为++?=0

1122

++?=0只有零解？？

1122

①线性无关：

设，，...是n个n维列向量，若当且仅当==?=0，

1212

++?=0成立，

1122