自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第四章线性方程组
第四章线性方程组
第01讲齐次线性方程组及其通解
01齐次线性方程组及其通解
知识点1：用矩阵表达#和##
注意，这里的#和##更一般化，方程的个数和未知数个数不一定相等.
称为齐次线性方程组，记为#
称为非齐次线性方程组，记为#＃
则#可以改写为AX=0
##可以改写为AX=b
如果把A和b拼接为（A,b），称为增广矩阵，记作
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知识点2：#解的本质
AX=0的解，指的是满足的n维列向量.
零解：
无数非零解：
等，此时把称为一个解向量集.
知识点3：#解的性质
①若ξ、ξ是AX=0的解，则ξ+ξ也是Ax=0的解.
1212
证明：
②若ξ是AX=0的解,k是任意实数，则kξ也是AX=0的解.
证明：
③若ξ、ξ…ξ是AX=0的解，则
12s
也是AX=0的解.
知识点4：基础解系
{ξ，ξ…ξ}是AX=0的一个解向量集，如果它满足：
12s
（1）ξ，ξ…ξ线性无关；
12s
（2）AX=0的任意一个解都可以被ξ，ξ…ξ线性表示，
12s
则称{ξ，ξ…ξ}为AX=0的一个基础解系.
12s
【注意】
①基础解系中解向量的个数S=n-r；
②AX=0通解表示为
③基础解系的本质，就是AX=0的解空间的一个基，基底线性无关但不唯一，故基础解系也不唯一.
【范例】
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1.构造系数矩阵A
2.初等行变换化为行阶梯最简形矩阵
3.确定向量S=n-r=4-2=2，故有2个受约束的向量，2个自由向量
每层台阶角的元素对应的向量，视作受约束的，其余为自由的.
本题中，x、x是受约束的向量，x、x是自由的.
1234
【范例】
【范例】
1.构造系数矩阵A
2.初等行变换化为行阶梯最简形矩阵
3.确定向量：受约束的、自由的
4.确定答案
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【思考】为什么这种技巧性的方法可以使用？
【另法】
即原方程组的同解方程组为
令，则
【例】
求其通解.
『正确答案』
1.构造系数矩阵A
2.初等行变换化为行阶梯最简形矩阵
3.确定向量：S=n-r=5-3=2
5个未知数=3个受约束变量+2个自由变量，自由变量决定蓝字位置.