自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第六章实二次型
第六章实二次型
第01讲实二次型（一）
01二次型与矩阵
知识点1：二次型的定义
n元实二次型指的是含有n个未知数的二次齐次多项式.
知识点2：用矩阵表达二次型
【引例】
1.
记，把平方项按顺序排列，矩阵
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这种只有平方项，没有交叉项的二次型称为标准二次型.
把平方项按顺序排列，交叉项一分为二排列.
T
故f(X,X,X)=XAX
123
这种既有平方项，也有交叉项的二次型称为非标准二次型.
【例】
求其对应的矩阵A，并求矩阵的秩.
『正确答案』
【例】写出由对称矩阵
T
确定的二次型f=xAx.
『正确答案』
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知识点2：用矩阵表达二次型
【学习思路】
【思考】如何将非标准二次型变为标准二次型？
“二次型的合同变换”
【本节总结】
知识点1：二次型的定义
知识点2：用矩阵表达二次型
02矩阵的合同
知识点1：合同的定义
T
如果对于n阶矩阵A和B，存在可逆矩阵P，使得PAP=B，则称A和B合同，记为
【注】注意和相似的定义作对比
-1
相似定义：设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得PAP=B，则称矩阵A和矩阵B相似，记
作A～B.
【注】合同类似于相似，也具有反身性、对称性、传递性.
【举例】
即寻找x=Py，使得即化为
知识点2：标准化之思路1配方法
【思路1】直接通过配方的方式化为标准形.
P为可逆矩阵，x=Py称为可逆线性变换.
【思路2】间接通过实对称矩阵的相似对角化将二次型标准化.
P为正交矩阵，x=Py称为正交变换.（知识点4详细讲解）
【思路1】
【例】用配方法求的标准形.
『正确答案』
用配方法把所给的二次型改写成
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令即作可逆线性变换
得到标准形
【思路1】
【例】
用配方法求二次型
的标准形，并求出所用的可逆线性
变换.
『正确答案』
【思路1】
【例】
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