武汉大学2020年强基计划数学试题
考试科目：数学与逻辑
不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分.
1.设圆。的半径为3,其一条弦A3=4,F为圆°任意一点，则而?序的最大值为（）
A.0B.1C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】通过基底转化，将屏转化BO+OP^其中，的能够直接与序求出数量积，0?能够求出与
丽数量积的表达式，且可以判断范围，从而确定数量积的最大值
将所求数量积进行转化得：ABBP=AB^+OP）=AB-W+ABOP,如图所示，根据投影定
理可得：AB-BO=—BA-BO=--BA2=—8,AB-OP=12cos^z?a为AB,OP所成角，因为P为圆
。任意一点，所以a=0时，ABOP=12cosa取得最大值12,此时
（AB?BP）=AB?BO+ABOP=-8+12=4,则序.序的最大值为4
故选：D
2.设实数X、满足公2一4勾7一尸=,则2X2+J2的最小值为（）
A.0B.2C.—D.—
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【答案】C
【解析】
【分析】由4个=工2__,两边平方，设2x2+y2=m,则y2-m-2x2,代入平方表达式，再设
x2=t^利用△0,解出即可.
【详解】解：设2x2+y2=m,则y2=m-2x2
5a:2-4xy-y2=5,
4xy=5a:2-y2-,
.\16x2y2=(x2-y2-)2,
16x2(m-2/)=(_秫—+7/)2,
8lx4-(30m+70)J+(m+)2=0,
设x2=t,
81户—(30m+70)/+(jti+)2—0,
.?.△=(30初+70)2—4x81(初+已.0,即576zt?+960m—32000，解得m..:或m-^(舍去)，
.?.2x2+y2的最小值是°,
3
故选：C.
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3.过椭圆互+匕=1的中心作两条互相垂直的弦AC和8D，顺次连接AB,C,D得一四边形，贝。该四
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边形的面积可能为()
A.10B.12C.14D.16
【答案】B
【解析】
【分析】设1，叫),田花况)，设x轴正方向旋转到与向量/同向所转过的角为。，利用三角函数的
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定义表示A,8的坐标，代入椭圆方程，求得云目，艾亦关于。的函数表达式，进而得到I八不M亦关
\OA\\OB\\OA\\OB\
于】的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四
边形面积的取值范围，从而做出选择.
【详解】设1，叫),8(花况)，设x轴正方向旋转到与向量汤同向所转过的角为。，
并根据题意不妨设OA到OB为逆时针旋转；，
x2=|OB|cosa+—=-\OB\sna,
=|O