DepartmentofMathematics点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射**第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日第二章拓扑空间与连续映射第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日本章教学基本要求掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法掌握闭集和闭包等相关概念.重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明.难点：拓扑空间,同胚映射第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日§2.3拓扑空间的其他概念一.导集，闭集，闭包1.导集定义2.11.设为拓扑空间,,如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A的一个孤立点．说明凝聚点可以属于A,也可以不属于A第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日例2.4.离散空间中集合的凝聚点和导集．d(A)＝例2.5.平庸空间中集合的凝聚点和导集．第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日定理2.12设X是一个拓扑空间，则:(1)(2)(3)(4)证明(3)必要性:如果综上所述，可见(3)必要性成立．第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日证明(4)设：(4)由此(4)成立第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日2.闭集定义2.12.设X是一个拓扑空间，,如果A的每一个凝聚点都属于A，即:,则称A是拓扑空间X中的一个闭集．说明离散空间中的任何一个子集都是闭集平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集定理2.13设X是一个拓扑空间，则A是一个闭集，当且仅当A的补集是开集.第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日证明必要性：设A是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集．第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日例2.6实数空间R中作为闭集的区间．设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集.(-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更是一个闭集．（a，b]，[a，b）是否闭集?回答:不是第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日定理2.14.设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：(1)(3)若.则∈(2)若A,B∈.则A∪B∈有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．第11页，共27页，星期日，2025年，2月5日3.闭包定义2.13.设X是一个拓扑空间，,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作:定理2.15拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是证明:集合A为闭集当且仅当d(A)而这又当且仅当A=A∪d(A)第12页，共27页，星期日，2025年，2月5日定理2.16设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：定理2.17拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集.定理2.18设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一个子集A，有第13页，共27页，星期日，2025年，2月5日定理2.19设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价：(l)f是一个连续映射(2)Y中的任何一个闭集B的原象是闭集(3)对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即(4)对于Y中的任何一个子集B，B的原象的闭包含于B的闭包的原象，即第14页，共27页，星期日，2025年，2月5日则是一个开集，因此根据(1)是X中的一个开集，因此是X中的一个闭集．证明(1)蕴涵(2)．设是闭集(2)蕴涵(