专项突破训练四平行四边形的证明思路
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类型1已知条件出现在四边形的边上
方法指引
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.如图Z-4-1,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线.求证：四边形DEBF是平行四边形.
2.如图Z-4-2,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:△ACD≌△CBE;
(2)连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形.
3.如图Z-4-3,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9cm,BC=6cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1cm/s的速度由A向D运动,点Q以2cm/s的速度由C向B运动.问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?
4.如图Z-4-4,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
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类型2已知条件出现在四边形的角上
方法指引
用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明.
5.如图Z-4-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形.
6.如图Z-4-6,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°.
(1)求∠D的度数;
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.
类型3已知条件出现在四边形的对角线上
方法指引
利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明.
7.如图Z--4--7,AC,BD相交于点O,AB∥DC,AD∥BC,若BE=DF,求证:四边形AFCE是平行四边形.
8.如图Z-4-8,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH,交AB于点E,HF∥BG,交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC.设AC和BD交于点O,求证:四边形ABCD是平行四边形.
9.如图Z-4-9,四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F.
(1)连接AF,BD,试判断四边形ABDF是何种特殊四边形，并说明理由；
(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面积.
专项突破训练四平行四边形的证明思路
1.证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠ADC=∠ABC,AB∥CD.∵DE.BF分别是∠ADC.∠ABC的平分线.∴∠ABF-∠CDE.∵AB∥CD.∴∠CDE=∠AED.∴∠ABF=∠AED.∴DE∥BF.∵DF∥BE.∴四边形DEBF是平行四边形.
2.证明:(1)∵点C是AB的中点,∴AC=BC.在△ACD与△CBE中
{
(2)∵△ACD≌△(°BE,∴∠ACD=∠CBE,∴(CD∥BE,又∵CD=BE.∴四边形CBED是平行四边形.
3.解:设点P.Q运动的时间为1s.依题意得CQ=2t.BQ=6-2r.AP=1,PD=9-1.
①当BQ=AP时,四边形APQB是平行四边形.
即6-2t=1.解得t=2.
②当(∵Q=PD时,四边形(∵QPD是平行四边形,即2t=9-1.解得1-3.
所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出··个平行四边形.
1.证明:∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠B=∠DEF.∠ACB=∠F.∵BE=(F.∴BE+(E=(F+CE.∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中.
{∠B?∠DEF.
∴AB=DE.又∵AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.
5.证明:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠C--∠D=180°.∵∠A=∠C.∴∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.
6.(1)解:∵∠D+∠2+∠1=180°,∴∠D=180°-∠2-∠1=18
(2)证明:∵AB∥DC,∴∠2=∠CAB=40°.∴∠DAB=∠1+/CAB-125`.∠ACB-180-∠CAB-∠B-85.∴/DCB-∠2-∠ACB=125°.∴∠DCB=∠DAB-125°.又由(1)可知∠D=∠B=55.∴四边形ABCD是平行四边形.
7.证明:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∴B()=1x).A()=(1).
又∵BE=DF,∴EO=()F.∴四边形AFCE是平行四边形.
8.证明:∵(;,11是AC的三等分点且GE∥B11,11F∥BG.
∴AG-GH=HC,EG,FH分别是△ABH和△CBG的中位线.
∴ED∥BH.FD∥BG.
∴四边形BHIX；是平行四边形.
∴()B=()1).(x;=()