18.2.3正方形
第1课时正方形的性质
自主预习
1.正方形的四个角都是,四条边.如图18-2-3-1-1,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,四边形ACEF是正方形,则EF的长为.
2.正方形的对角线且.已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=16cm,则BD=cm.
3.已知正方形的对角线长为22,，则它的面积为
基础优练
知识点正方形的性质
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是【点拨1】 ()
A.四条边相等 B.对角线互相垂直且平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
2.如图18--2--3--1-2,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是()
A.(-6,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,2)
3.如图18-2-3--1-3,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是()
A.AE=BF B.∠DAE=∠BFC
C.∠AEB+∠BFC=90° D.AE⊥BF
4.如图18-2-3--1-4,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AO=3,则AB的长为.【点拨2】
5.如图18-2-3-1-5,已知P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,且BP=BC,则∠ACP=.
6.如图18-2-3-1-6,已知正方形ABCD的对角线交于点O,过O点作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E,F,若AE=4,CF=3,则EF等于.
名师点拨。
点拨1正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质.
(1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直；
(2)角的性质：正方形的四个角都是直角；
(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.
正方形还有自己的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
点拨2正方形的两条对角线分正方形成四个大等腰直角三角形和四个小等腰直角三角形，每条对角线的长度是边长的2倍，且对角线平分正方形的内角，这些在有关正方形的证明或计算中经常用到.
点拨3因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等.本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部.
整合集训★
7.如图18-2-3--1-7,正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()
A.先变大后变小 B.先变小后变大
C.一直变大 D.保持不变
8.如图18-2-3-1-8,正方形ABCD的边长为5,点M是边BC上的点,DE⊥AM于点E,BF∥DE,交AM于点F.若点E是AF的中点,则DE的长为()
A.5 B.25 C.4 D.23
9.如图18--2--3--1--9,E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点,BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R,则PQ+PR的值为()
A.22 B.12 C.32
10.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是.【点拨3】
11.如图18-2-3-1--10为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为m.
12.如图18-2-3--1--11,ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.
核心素养题——直观想象
13.如图18-2-3-1-12①,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作