2023—2024学年度上期期中素质测试题
九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．2023年9月23日至2023年10月8日，亚运会在杭州市举行，下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最小值是－3 D．函数的最大值是－3
4．如图，中，弦BC，点为垂足，点在优弧上，则下列语句中，错误的是（）
第4题图
A． B．
C． D．
5．如图，矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程的两根，则和的值分别为（）
第5题图
A．－6，5 B．12，－5 C．6，5 D．－12，5
6．如图，正方形ABCD的顶点A、B在上，顶点C、D在内，将正方形ABCD绕点顺时针旋转
，使点落在上．若正方形ABCD的边长和的半径相等，则旋转角度等于（）
第6题图
A．36° B．30° C．25° D．22.5°
7．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线是（）
A． B．
C． D．
8．如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）
第8题图
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（）
第9题图
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，射线OB是第一象限的角平分线，线段，将绕原点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2023次旋转结束后，点对应点的坐标为（）
第10题图
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请举一个开口向下，且过点的抛物线的函数解析式______．
12．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______米．
第12题图
13．如图，点是正方形ABCD的边DC上一点，把绕点顺时针旋转90°到的位置．若AE的长为，，则图中阴影部分（四边形AECF）的面积为______．
第13题图
14．同学们，你们见过钻石图形吗？如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，，则______度．
第14题图
15．已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个“鹊桥”图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为______．
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）
（1）用适当的方法解方程：．
（2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“”来解决．你设计的问题是：____________________________．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（1，－2），∠ABO＝90°，将Rt△OAB绕原点O按逆时针旋转90°后得到△OCD，A，B的对应点分别为C，D．
（1）请在坐标系中画出△OCD，并写出C，D两点的坐标．
（2）延长CD，交AB于点E，试判定四边形ODEB的形状，并说明理由．
18．（9分）定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”．
（1）下列属于和谐方程的是______；
①；②；③；④
（2）求证：和谐方程总有实数根；
19．（9分）已知函数是关于的二次函数．
（1）求满足条件的的值；
（2）为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
20．（9分）如图，AB为的直径，C、D为上的两个点，，连接AD，过点作交AC的延长线于点．
（1）求证：DE是的切线．
（2）若直径，求AD的长．
21．（9分）18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会比赛中夺得3枚金牌，被誉为“雪上公主”．谷爱凌从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
（1）求S关于t的函数表达式；
（2）根据图象，求当滑行时间为6s时，滑