2024-2025学年度上期九年级数学
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A． B．
C． D．
2．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（）
A． B．
C． D．
4．如图，矩形ABCD的对角线，，则AB的长为（）
A． B．2cm C． D．4cm
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k取值范围是（）
A． B． C．且 D．且
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等，且正方形绕点O旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（）
A．2 B． C．1 D．无法确定
7．方程经过配方后得（）
A． B． C． D．
8．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则∠EAO的度数是（）
A．60° B．67.5° C．45° D．22.5°
10．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若，，则OE长为（）
A．3 B．5 C．2.5 D．4
二、填空题（每题3分，共15分）
11．写出方程的解______．
12．菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长为10cm，求这个菱形的另一条对角线的长为______．
13．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为______．
15．如图，在中，，，，点D在AB边上，，，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于______．
三、简答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）解一元二次方程
（1） （2）
17．（9分）已知关于x的方程．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．
18．（9分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售______件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3072元？
19．（9分）如图，点E是正方形ABCD内一点，是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点．
（1）求证：；
（2）求∠AEF的度数．
20．（8分）在中，，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s．其中一点到终点，另一点也随之停止移动．
（1）______秒后为等腰三角形？
（2）几秒后四边形ABQP的面积为面积的三分之一？
21．（9分）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程：（1）；（2）．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD，，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
23．（11分）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片进行折叠：
问题解决：
（1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线AC折叠，点B的对应点为点，则______cm，______cm2；
实践探究：
（2）如图2，希望小组将矩形ABCD沿着EF（点E，F分别在边AD，边BC上）所在的直线折叠，点B的对应点为点D，连接BE，
①试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②求折痕EF的长．
参考答案
一、选择题
1．A2．D3．B4．D5．C6．C7．B8．D9．C10．C
二、填空题
11．，12．13．－1914．
15．解答：解：如图，连接CD．
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形CFDE是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段EF的值最小，
此时，，
即，
解得：，∴．
故答案为．
三、简答题
16．（