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2025年6月19日初中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在等边三角形中，点为直线上一点，连接，以为边向右侧作等腰．
(1)如图1，点为的中点，点在上，满足，点在上，连接，若，求的长；
(2)如图2，点在的延长线上，，在内部，，点是上一点，连接交于点，的延长线交于点，若，点为中点．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，，且，取中点，点是上一点，满足，连接，当取得最小值时，点为直线上一动点，点为上一动点，直接写出当取得最小值时、、的数量关系．
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《2025年6月19日初中数学作业》参考答案
1．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）在等边三角形中，点为的中点，得出，利用，，得出，，求出，利用含角的直角三角形性质得出；
（2）延长至点，使得，连接，，设与交于点，设，由，，利用八字形得出，利用，得出，，，利用，得出，则可求得，可得，，证明，得出，，再证明，得出，则，即可证明；
（3）先证明，得出，，过点作的对称点，由对称性可知，，当且仅当、、依次共线时，取得最小值；此时，过作点关于的对称点，连接，则，得到，由点为直线上一动点，点为上一动点，由点到直线的最短距离，得当、、依次共线，且时，最小，最小值为，此时，连接，交于点，连接，设交于点，可得，，则可得，证明，得出，设，求得，则，通过导角得出，则，即可得出关系．
【详解】（1）解：∵在等边三角形中，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，连接，，使得，设与交于点，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，作过点关于的对称点，
由对称性可知，
∴，
当且仅当、、依次共线时，取得最小值；
此时如图，作点关于的对称点，连接，
则，
∴，
由点为直线上一动点，点为上一动点，
由点到直线的最短距离，得当、、依次共线，且时，最小，最小值为，
此时如图，连接，交于点，连接，设交于点，
由对称得，
∴，，
∵等边中，是中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对称性可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，点到直线的最短距离，轴对称，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．