2023-2024学年福建省泉州市德化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项
1．下列各数中最大的是（）
A．3 B．0 C． D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（）
A． B． C． D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．抛掷硬币时，正面朝上 B．太阳每天从西方升起
C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．负数小于正数
4．在中，，那么下列结论中错误的是（????）
A． B．
C． D．
5．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）
A． B． C． D．
6．已知，均为正数，如果：：，那么下列各式中一定正确的是()
A． B． C． D．
7．如图，是的中位线，若的面积为，则为四边形的面积()
A．8 B．10 C．12 D．14
8．某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是()
A．20 B．15 C．10 D．5
9．如图，在中，：：，平分交于点，交于点，则的值是()
A． B． C． D．
10．在锐角中，于点，若，，则的度数是()
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．若有意义，则实数a的取值范围是．
12．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是．
13．最简二次根式与是同类二次根式，则．
14．如图，，则的长为．
15．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是．
16．在平面直角坐标系中，点A，B均在抛物线上，，且轴，已知，则．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：．
18．如图，某滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为100米，求滑雪道长度．
19．如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)与的位似比是，请在图中标出位似中心的位置；
(2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
21．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，该纸盒里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．
(1)若抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是多少？
(2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，抽奖者从该纸盒中依次取出两个球（不放回），根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）
在线支付：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
20
10
现金支付：
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
20
10
20
如果一个顾客当天在本商场购物满200元，他很想获得20元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
22．某商场将每件进价为元的某种商品按每件元出售，后来经过市场调查，发现这种商品售价x元与其一天的销量y的函数关系是，如图．
(1)求该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式；
(2)若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应是多少元？
23．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：
如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示）
解：∵，
∴，
∴________，
又∵，
∴_______，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴（步）
又∵，∴，（步）
(1)上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；
(2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．现已画出测量示意图如图4，请写出图中你认为小明应该测量的几何量（长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示），并求出此座山峰的高度．
工具说明：
①如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．
②如图3，自制