专题二函数及其性质
2.1函数的概念及表示
考点一函数的概念及表示
1.(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(x-1)+f(x-2),且当x3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是()
A.f(10)100 B.f(20)1000
C.f(10)1000 D.f(20)10000
8
B
当x3时,f(x)=x,因此,f(1)=1,f(2)=2,
又f(x)f(x-1)+f(x-2),∴f(3)f(2)+f(1)=2+1=3,
f(4)f(3)+f(2)3+2=5,……,以此类推知f(10)89,……,f(16)1597,……,f(20)10946,因此B正确,D错误;
取f(3)=1000,可知选项C错误;
不妨设f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ0),则f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ,f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……,f(10)=89+54λ,令f(10)100,得89+54λ100,∴λ1154,因此当λ1154时,f(10)100,选项A错误.
2.(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为()
A.18 B.14 C.1
8
C
f(x)≥0?x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,①
或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.②
由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同,
因此,-a=1-b,即b=1+a,
由②得,-bx≤-a与-bx≤1-b的解集相同,
因此,-a=1-b,即b=1+a,
综上所述,b=1+a.
∴a2+b2=a2+(1+a)2=2a+122+12
3.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgnx=1,x0,
A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx
答案D由已知可知xsgnx=x,x0,0,x=0,?x,
4.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()
A.1B.2C.3D.-1
答案A由已知条件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
评析本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
5.(2017山东理,1,5分)设函数y=4?x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则
A.(1,2)B.(1,2]
C.(-2,1)D.[-2,1)
答案D由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x0,解得x1,∴A∩B={x|-2≤x1}.故选D.
6.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案D由x2+2x-30,解得x-3或x1,故选D.
7.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=4?|x|
A.(2,3)B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]
答案C要使函数f(x)有意义,需满足4
即|x|≤4,(x?3)(
8.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=1(lo
A.0,1
C.0,12∪(2,+∞)D.0,
答案C要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-10,即(log2x)21,∴log2x1或log2x-1.解之得x2或0x12
故f(x)的定义域为0,12
9.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()
A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1
答案D函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.
易错警示利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
评析本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.
10.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有(
A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0
C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1
答案C∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2?x