2.配方法过教材要点概览1.配方法:把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的,右边是一个,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.?配方的依据是完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.完全平方式非负常数
2.用配方法解一元二次方程的步骤(1)化:将原方程化为一般形式,并将二次项系数化为1;(2)移:将常数项移到方程右边;(3)配:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式;(4)解:方程两边直接开平方解答.
精讲练新知探究探究点一用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例1用配方法解方程:x2-2x-5=0.
巩固训练1.利用配方法解方程x2+6x+8=0时,将该方程化为(x+3)2=1的形式,然后利用直接开平方法求解,这个过程体现的数学思想是()A.数形结合思想 B.转化思想C.整体思想 D.类比思想B
42105±3
3.用配方法解方程:(1)x2-4x-1=0;
(2)x(x-2)=8.解:(2)整理,得x2-2x=8,配方,得x2-2x+1=8+1,即(x-1)2=9.直接开平方,得x-1=±3.∴x1=-2,x2=4.
探究点二用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例2用配方法解方程:3y2-9y+5=0.
巩固训练4.将方程3x2+6x-1=0配方,变形正确的是()A.(3x+1)2-1=0 B.(3x+1)2-2=0C.3(x+1)2-4=0 D.3(x+1)2-1=0C
5.用配方法解方程:(1)2x2-3x-6=0;
(2)3x2-6x+2=0.
探究点三配方法的应用例3若△ABC是等腰三角形,且它的两边长a,b满足a2-10a+41=8b-b2,求△ABC的周长.解:a2-10a+41=8b-b2,a2-10a+25+b2-8b+16=0,(a-5)2+(b-4)2=0,∴a-5=0,b-4=0.∴a=5,b=4,当5为腰长时,三边长分别为5,5,4,能组成三角形,此时△ABC的周长=5+5+4=14;当4为腰长时,三边长分别为4,4,5,能组成三角形,此时△ABC的周长=4+4+5=13.故△ABC的周长为14或13.
巩固训练6.若x2+y2-2x+6y+10=0,则x2+y2=.?7.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么p+q的值为.8.若方程x2+6x+1=0能配方成(x+m)2+n=0的形式,则直线y=mx+n不经过的象限是第象限.?105二
9.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例如:求代数式x2+4x+5的最小值.解答过程如下:解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.∵(x+2)2≥0,∴当x=-2时,(x+2)2的值最小,最小值是0,∴(x+2)2+1≥1.
∴当x=-2时,x2+4x+5有最小值,最小值为1.根据上述方法,求代数式x2-6x+12的最小值.解:x2-6x+12=x2-6x+9+3=(x-3)2+3.∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+3≥3,∴当x=3时,x2-6x+12有最小值,为3.
2.配方法基础巩固练1.用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-1=0,配方正确的是()A.(x+1)2=2 B.(x-1)2=1C.(x-1)2=2 D.(x+1)2=12.关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x+m2-4m-5=0,若方程的常数项为0,则m的值为()A.-1 B.5 C.-1或5 D.0CB
4.用配方法解方程2x2-4x-7=0,配方的结果是(x-1)2=.?5.将一元二次方程2x2-8x+a=0配方化为(x-2)2=2,则a的值为.?6.多项式-2x2+8x+2的最大值为.?D410
7.小明在学习了配方法解一元二次方程后,用配方法解方程2x2-8x+3=0的过程如下:解:2x2-8x=-3,①x2-4x=-3,②x2-4x+4=-3+4,③(x-2)2=1,④x-2=±1,⑤∴x1=3,x2=1.⑥(1)上述解方程的过程中,小明从第步开始出现了错误;(填序号)解:(1)②
(2)请利用配方法正确解出方程2x2-8x+3=0.
8.用配方法解方程:(1)x2-8x-9=0;解:(1)x2-8x-9=0,移项,得x2-8x=9,配方,得x2-8x+16=25,即(x-4)2=25,两边开平方,得x-4=±5,∴x1=9,x2=-1.
(2)2x2-4x+1=0;
(3)(x-1)2=x.
能力提升练9.已知一元二次方程x2+mx+3=0配方后为(x+n)2=2