*5.一元二次方程的根与系数的关系过教材要点概览1.二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=,x1·x2=.?

2x1x24x1x2

精讲练新知探究探究点一由根与系数的关系求与两根有关的代数式的值

(2)(x1-3)(x2-3);解:(2)(x1-3)(x2-3)=x1·x2-3x1-3x2+9=x1·x2-3(x1+x2)+9=3-3×(-6)+9=30.

归纳总结利用根与系数的关系求与两根有关的代数式的值的步骤(1)一求:求出两根的和与两根的积;(2)二化:把所求代数式化为含有两根的和与两根的积的式子;(3)三代:把两根的和与两根的积整体代入所转化的式子;(4)四算:通过计算求出代数式的值.

巩固训练C

3.(1)(2024巴中)已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为.?(2)(2024泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是.?414

探究点二由根与系数的关系确定未知字母的值或取值范围例2已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数根分别是x1,x2.(1)求k的取值范围.

(2)若两个根x1,x2满足2x1x2-x1-x2=9,求k的值.解:(2)∵x1,x2是关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数根,∴x1+x2=2k-3,x1x2=k2+1.又∵2x1x2-x1-x2=9,即2(k2+1)-(2k-3)=9,∴k2-k-2=0,解得k1=-1,k2=2(不符合题意,舍去).∴k的值为-1.

易错警示由根与系数的关系确定未知字母的值或取值范围的注意事项(1)注意二次项系数a≠0;(2)注意根的判别式Δ=b2-4ac≥0.

巩固训练4.若x1,x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根,且x1x2=-3,则k的值为()A.1 B.2 C.3 D.4B

5.已知关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;解:(1)∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,∴Δ0且m≠0,即(-2)2-4×m×(-1)0且m≠0.解得m-1且m≠0.

(2)若方程的两根分别为α和β,则是否存在实数k,使α2+β2=2成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

*5.一元二次方程的根与系数的关系基础巩固练1.若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为()A.4 B.8 C.12 D.162.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为()A.0 B.-10 C.3 D.103.已知方程x2+3x+m=0的两根的差为5,则m-1的值是()A.2 B.-2 C.1 D.-5CAD

4.易错题已知关于x的一元二次方程4x2+(a2-3a-10)x-4a=0的两根互为相反数,则a的值为()A.5或-2 B.5 C.-2 D.05.已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)的值是.?B-4-3

(2)求(x1-x2)2的值.解:(2)由(1),可得x1+x2=2,x1x2=-1,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=22-4×(-1)=8.

8.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0.(1)求证:无论m为何值,方程总有两个实数根;(1)证明:根据题意,得Δ=(-m)2-4(2m-4)=m2-8m+16=(m-4)2≥0,∴无论m为何值,方程总有两个实数根.

能力提升练9.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4.则原来的方程是()A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0B

BC

12.分类讨论已知关于x的方程(k+2)x2+(k-1)x-3=0.(1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根;(1)证明:①当k+2≠0,即k≠-2时,∵Δ=(k-1)2-4(k+2)×(-3)=k2-2k+1+12k+24=k2+10k+25=(k+5)2≥0,∴方程总有实数根.②当k+2=0,即k=-2时,原方程化为-3x-3=0,方程的解为x=-1.∴无论k为何实数,方程总有实数根.

素养培优练解:应用:(1)x2+3x+2=0(答案不