3简谐运动的图像和公式
[学习目标]1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．
一、简谐运动的图像
[导学探究]
1．甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像：
如图1所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸．
图1
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿O′O与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？
答案(1)是一条垂直于OO′的直线．
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线．
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置．
2．绘制简谐运动的x－t图像如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线．若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像．
图2
(1)为什么这就是漏斗的位移—时间图像？
(2)位移—时间图像与什么函数图像类似？
答案(1)当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律．
(2)与正弦(或余弦)函数图像类似．
[知识梳理]对简谐运动图像的理解
1．图像的建立
以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.
2．图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线，如图3所示．
3．图像的应用
(1)确定振动物体在任一时刻的位移．如图3所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7cm，
x2＝－5cm.
图3
(2)确定振动的振幅．由图可知，振动的振幅是10cm.
(3)确定振动的周期和频率．由图可知，T＝0.2s，频率f＝eq\f(1,T)＝5Hz.
(4)确定各质点的振动方向．例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．
(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.
[即学即用]关于简谐运动的振动图像，判断下列说法的正误．
(1)图像表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线．(×)
(2)由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向．(√)
(3)由图像可判断任一时刻质点的速度方向和加速度方向．(√)
(4)由图像可以比较质点在不同时刻的速度大小、位移大小和加速度大小．(√)
(5)由图像可知质点在平衡位置处速度最大．(√)
二、简谐运动的表达式及相位差
[导学探究]
1．将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时释放．两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？
答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.
2．将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？
答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.
3．图4是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义．
图4
答案表达式x＝Asin(eq\f(2π,T)t＋φ)，式中A表示振幅，T表示周期，φ表示初相位．
[知识梳理]对表达式x＝Asin(ωt＋φ)的理解
1．式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间．
2．A表示振幅．
3．ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝eq\f(2π,T)＝2πf.
所以表达式也可写成：
x＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t＋φ))或x＝Asin(2πft＋φ)．
4．ωt＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝0时的相位，称为初相位或初相．相位是一个角度，单位是弧度或度．
5．相位差
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2si