2.6对数与对数函数
考点1对数运算
1.(2024北京,9,4分,易)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则()
A.log2y1+y22x1
C.log2y1+y22x1+x2 D.log2
9
B
log2y1+y22=log22x1
当且仅当2x1=2x2,即x1=x2
又(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,
∴x1≠x2,∴log2y1+y22
2.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
答案C解题指导:将L=4.9代入L=5+lgV,结合对数与指数互化,即可求出V的值.
解析将L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,
即lgV=-0.1=-110
∴V=10?110=
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
3.(2024全国甲理,15,5分,中)已知a1且1log8a-1loga
15
答案
64
解析∵1log8a-1loga4=-52
即3loga2-12log
设t=loga2,∵a1,∴t0,
则3t-12t=-52,整理得6t2
∵t0,∴t=16,即loga2=16,∴a16=2,
4.(2016浙江,12,6分)已知ab1.若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.?
答案4;2
解析令logab=t,∵ab1,∴0t1,由logab+logba=52得,t+1t=52,解得t=12或t=2(舍去),即logab=12,∴b=a,又ab=ba,∴aa=(a)a,即aa=aa
评析本题考查对数式、指数式的运算,注意logab=1logba,先求出loga
考点2对数函数
1.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()
A.cbaB.abc
C.bcaD.cab
答案A本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.
显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log33log38log39,所以1b2.
因为log27log24=2,所以a2.
故cba.选A.
2.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若ab0,0c1,则()
A.logaclogbcB.logcalogcb
C.acbcD.cacb
答案B∵0c1,∴当ab1时,logaclogbc,A项错误;
∵0c1,∴y=logcx在(0,+∞)上单调递减,又ab0,
∴logcalogcb,B项正确;
∵0c1,∴函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,
又∵ab0,∴acbc,C项错误;
∵0c1,∴y=cx在(0,+∞)上单调递减,
又∵ab0,∴cacb,D项错误.故选B.
评析本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是解题的关键.
3.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则()
A.cbaB.bcaC.acbD.abc
答案D由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32log52log72,所以abc,故选D.
4.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则()
A.acbB.bcaC.cbaD.cab
答案D∵323,125,32,∴log33log32log33,log51log52log55,log23log22,∴12a1,0b1
∴cab.故选D.
5.(2012课标文,11,5分)当0x≤12时,4xlogax,则a的取值范围是
A.0,22B.22,1C.(1,
答案B易知0a1,则函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则只需满足loga122,解得a22,∴22
评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.