2.2函数的单调性和最值
考点函数的单调性
1.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()
A.(-∞,-2]B.[-2,0)
C.(0,2]D.[2,+∞)
答案Df(x)=2x(x-a)=2(x?a2)2?a24,由复合函数的单调性知函数y=x?a22-a24在(0,1)上单调递减,所以
2.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=-x2-2ax-a,x0,e
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
6
B
当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上单调递增,所以-a≥0,-a≤e0+ln(0+1),则-1
易错警示
该题容易只考虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x0时,函数f(x)是增函数,从而得到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小.
3.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=e?(x?1)2.记a=f22,b=f32,c=f
A.bcaB.bac
C.cbaD.cab
答案A∵f(x)=e?(x?1)2是由y=eu和u=-(x
∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又知f(2-x)=e?(2?x?1)2=e?(1?
∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f62=f2?
又∵222-62321,∴f22f2?6
即acb,故选A.
4.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()
A.f(x)=-lnxB.f(x)=1
C.f(x)=-1xD.f(x)=3|x
答案C对于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
对于B,f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,
对于C,f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,符合题意
对于D,f(x)=3|x-1|=3x?1,x≥1,13x?1,
5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()
A.f(x)=-xB.f(x)=2
C.f(x)=x2D.f(x)=3
答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.
解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;
对于f(x)=23x,由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B
对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;
对于f(x)=3x=x13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)
方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k0,则函数在R上单调递增;若k0,则函数在R上单调递减.
指数函数y=ax(a0且a≠1)单调性的判断:若a1,则函数在R上单调递增;若0a1,则函数在R上单调递减.
幂函数y=xα单调性的判断:若α0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α0,则函数在(0,+∞)上单调递减.
6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()
A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4
C.y=2x+22-xD.y=lnx+4
答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.
解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sinx|=t,则0t≤1,y=|sinx|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上单调递减,故t=1时,ymin=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t0),则y=2x+22-x=t+4t,t0,易知y=t+4t在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合题意;对于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,则y=lnx+4ln
7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()
A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上