高考数学压轴题100题精选含答案
一、立体几何多选题
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A/B/C/D/中，M为BC边的中点，下列结论正确的有()
A．AM与D/B/所成角的余弦值为
B．过三点A、M、D￠的正方体ABCD—A/B/C/D/的截面面积为
C．四面体A/C/BD的内切球的表面积为
D．正方体ABCD—A/B/C/D/中，点P在底面A/B/C/D/（所在的平面）上运动并且使
上MAC/=上PAC/，那么点P的轨迹是椭圆【答案】AB
【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角与D/B/所成角的余弦值判断A的正误；同样设P(x,y,0)结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求MN,AD/,AM,D/N，进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断C的正误.
【详解】
A：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：A(0,0,2),M(1,2,2),B/(0,2,0),D/(2,0,0)，
故正确.
B：若N为CC/的中点，连接MN，则有MN//AD/，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A、M、D￠的正方体ABCD—A/B/C/D/的截面，而可得梯形的高为，
∴梯形的面积为故正确.
C：如下图知：四面体A/C/BD的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴而四面体的棱长都为2、i2，有表面积为
∴若其内切圆半径为r，则有即，所以内切球的表面积为4兀r2=.故
错误.
D：正方体ABCD—A/B/C/D/中，点P在底面A/B/C/D/（所在的平面）上运动且上MAC/=上PAC/，即P的轨迹为面A/B/C/D/截以AM、AP为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK，
构建如下空间直角坐标系若P(x,y,0)，则
即整理得
即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
2．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至ADE位置，使得二面角A-DE-B为60°,则下列选项中正确的是()
A．点A到平面BCED的距离为3
B．直线AD与直线CE所成的角的余弦值为
C．AD⊥BD
D．四棱锥A-BCED的外接球半径为【答案】ABD
【分析】
作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A到平面面BCED的高AH,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得AH的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠ADN就是直线AD与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接AM,AN.
则AM⊥DE,MN⊥DE,,
∵AM∩MN=M,∴CD⊥平面AMN,
又∵CD?平面ABDC,∴平面AMN⊥平面ABDC,在平面AMN中作AH⊥MN,则AH⊥平面BCED,∵二面角A-DE-B为60°,∴∠AEF=60°,
∵正三角形ABC中故A正确；
连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,
∠ADN就是直线AD与CE所成的角，DN=DA=4,AN=AM=2、,
故B正确；
∴A’D2+DB2≠A’B2,∴AD与BD不垂直，故C错误’
易得NB=NC=ND=NG