自考辅导《线性代数（经管类）2025版》第五章特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量
第01讲特征值与特征向量
01特征值与特征向量
知识点1：特征值与特征向量的概念
设A为n阶方阵，如果存在某个数λ和某个非零列向量α满足
Aα=λα
称λ是A的一个特征值，称α是A的属于特征值λ的一个特征向量.
【举例】
故本例中3就是它的一个特征值，是3对应的一个特征向量.即“自产自销”.
知识点2：如何已知A求λ和α
①求λ
Aα=λα，因此λα－Aα＝０，因此
因为α非零，故有非零解，所以它的系数矩阵的行列式，据
此，可以解出特征值.
②求α
λ是A的一个特征值，求α即求的解.
0
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【范例】，求A的特征值和特征向量.
『正确答案』
两个根是λ=0，λ=5，就是A的两个特征值.
①当λ=0时，
，解为
②当λ=5时，解为
因此，特征值为0和5，对应的特征向量为和，k为非零常数.和是
两个线性无关的特征向量.
知识点2：如何已知Ａ求λ和α
①求λ
②求α
【注】求解过程“自产自销”.
【例】
求A的特征值和特征向量.
『正确答案』
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|λE-A|＝0，故特征值为1，4，-3.
①当λ＝1时，
E-A＝
对应方程的解为
②当λ=4时，
4E－A=
对应方程的解为kα=
2
③当λ=－3时，
对应方程的解为kα=
3
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kα、kα、kα是特征值1，4，－3对应的特征向量.
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α、α、α是特征值1，4，－3对应的线性无关特征向量.
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知识点3：特征矩阵、特征多项式和特征方程
λE－A称为A的特征矩阵.
称为A的特征多项式.
称为矩阵A的特征方程.
【例】
设A为n阶矩阵，且|3E+2A|=0，则A必有一个特征值为________.
『正确答案』
【例】求A的可能的特征值.
『正确答案』0；1或-1
『答案解析』（1）的矩阵称为幂零矩阵；（2）的矩阵称为对合矩阵.
知识点4：特征值和特征向量的应用
①特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式的值.
②特征值与行列式和矩阵的关联结论