第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日第四章稳定性与李雅普诺夫方法主要内容:1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第一方法（间接法）3、李雅普诺夫第二方法（直接法）4、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用5、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用重点：1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义2、李雅普诺夫第二方法（间接法）3、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日一、稳定的一般性概念系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。二、系统稳定分类系统外部稳定：又称作输出稳定，当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。系统内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日1、经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。三、经典控制论中的稳定性理论2、经典控制论稳定性分析方法劳斯－赫尔维茨稳定判据：可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。频域：奈奎斯特判据。第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日非线性系统和时变系统稳定性分析方法李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫：19世纪后期俄国数学家《动态稳定性的一般问题》1892发表线性化方法“类能量”标量函数3、经典控制论稳定性分析方法的适用性研究的对象：线性定常系统不能解决的问题：（1）时变系统时的稳定性分析；（2）非线性系统的稳定性分析；（3）系统内部状态稳定性分析。第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日4—1李雅普诺夫关于稳定性定义经典控制理论的稳定性定义：线性定常系统的稳定性与系统的结构和参数有关，与系统的初始条件和扰动的大小无关。非线性系统的稳定：不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件和扰动的大小无关。经典控制理论并没有给出适合任何系统稳定性定义！李雅普诺夫稳定性定义1、给出了对任何系统普遍适用的稳定性的一般定义2、李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。3、李雅普诺夫函数需要针对系统来设计，不具有一般性。第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日一、系统状态的运动和平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为：n维状态矢量n维矢量函数在给定初始条件下，有唯一解：表示初始时刻的状态表示从初始条件出发的一条运动轨线称为系统的运动或状态轨线。第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日若系统存在状态矢量，对于任意时间t,都有：则称该状态为系统的平衡状态，记为：关于平衡状态的说明1、对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态。2、有时即使存在也未必是唯一的。例：可以得到系统的三个平衡状态点第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日它的动态特性由下列非线性自治方程给出令则相应的状态空间方程是：平衡点：第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日二、稳定性的几个定义状态空间几何描述的几个基本概念状态矢量与平衡点xe的距离：用║x─xe║表示且有：║x─xe║=[（x1-x1e)2+（x2-x2e)2……+（xn-xne)2]1/2以xe为中心ε为半径的超球体点集：用S（ε）表示，且如果状态变量x属于该超球体点集则有：║x─xe║≤ε邻域：当ε很小时，称S（ε）为xe的邻域自由响应有界：若系统状态方程的解xt=Φ(t；x0,t0)位于球域S（ε）内则有：║Φ(t；x0,t0）－xe║≤ε表示系统由初始状态x0或扰动所引起的自由响应有界