将它们正交化，可得正交矩阵Q。*相似矩阵设A,B是两个n阶方阵,如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B

则称B是A的相似矩阵,也称B与A相似.运算P-1AP也称为对A进行相似变换.P称为把A变成B的相似变换矩阵.相似变换也是一种线性变换.(如同正交变换)*相似矩阵相似关系是一种等价关系，满足：反身性：Ａ相似于Ａ；对称性：若Ａ相似于Ｂ，则Ｂ相似于Ａ；传递性：若Ａ相似于Ｂ，Ｂ相似于Ｃ，则有Ａ相似于Ｃ。A相似于B，可以记为：*相似矩阵矩阵Ａ与矩阵Ｂ相似*相似矩阵的性质*相似矩阵的应用求A100利用相似变换可以将矩阵化简。*相似变换与对角矩阵对一个方阵A，是否存在一个可逆矩阵P，使得若存在P，则称A可对角化，若不存在P，则称A不可对角化。*相似变换与对角矩阵*矩阵可对角化的条件即为A的n个特征向量。问题：A可对角化的条件？P的求法。*矩阵可对角化的条件n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.反之,若方阵A有n个线性无关的特征向量满足：令：P是可逆矩阵！*矩阵可对角化的条件若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A可对角化.若n阶方阵A没有n个不同的特征值,则A是否可能对角化？一个特征值可能有多个线性无关的特征向量。*求相似对角阵的方法求方阵A的特征值;对每个特征值λi,计算A-λiE的秩,设其秩为n-ni,i=1,2,…s,则(A-λiE)X=0的基础解系有ni个解向量。即A的对应于λi的线性无关的向量有ni个

所以当n1+n2+…+ns=n时,则A可对角化.在可对角化的情形下,对每个λi,求

(A-λiE)X=0的基础解系.所有λi的基础解系构成矩阵P.*可对角化矩阵的判断A是否可对角化?是特征根.所以A不可对角化．A只有一个特征向量*可对角化矩阵的判断设Ａ为上三角矩阵，其主对角线上元素都是a≠0，且主对角上元素之外至少有一个元素不是０，则Ａ是否可对角化？A的全部特征值是2.A只有一个线性无关的特征向量！*可对角化矩阵的判断A是否可对角化?A的全部特征值是1和2A只有两个线性无关的特征向量,A不可对角化.*可对角化矩阵的判断A是否可对角化?A的全部特征值是-1和2基础解系为(1,0,1)T基础解系为(0,1,-1)T和(1,0,4)TA可对角化。*可对角化矩阵的判断*可对角化矩阵的判断当a为何值时，A可对角化。当a=2时，A可对角化！*求可逆矩阵P，使得：A的特征值？f(A)的特征值？f(A)的特征向量？*****复矩阵和复向量为复数，则称Ａ为复矩阵。为向量，其元素为复数，则称它为复向量。的共轭复数。称为Ａ的共轭矩阵。共轭矩阵的性质：*实对称矩阵的对角化定理：设A是n阶实对称矩阵，则A的特征值都是实数.对一个实对称矩阵A，是否可对角化？对一个实对称矩阵A，是否存在一个正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵。*实对称矩阵必可对角化设A为n阶实对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量.设A为n阶实对称矩阵,则必存在相似变换矩阵P,使设A为n阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵Q,使只须将P正交化即可。*特征向量的正交化是实对称矩阵A的两个特征值,是对应于的两个特征向量,若则正交.两边取转置所以即属于不同特征值的特征向量是正交的！*求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角阵求A的特征值：?1=2，?2=4基础解系为：基础解系为：*求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角阵易知：两两正交，将其单位化即可。*实对称矩阵对角化方法求实对称矩阵A的特征值对A的每个特征值求出对应的特征向量对求出的特征向量正交化(对应于不同特征值的特征向量必正交),然后进行单位化.*求正交矩阵Q，将A化成对角阵。所以，A的特征值是1和-3，其中，1是三重特征根。易得基础解系为:当?1=1时，代入特征方程(A-?1E)X=0,得:*当?2=-3时，代入特征方程(A-?2E)X=0,得:易得基础解系为:正交化。*