**将二次型化成标准形将一个二次型化成标准形有多种方法；正交变换法；配方法；初等变换法；一个二次型的标准形也有多种形式，即二次型的标准形不唯一。*二次型的标准形不唯一作变换则**二次型的标准形不唯一作变换*标准形不唯一,但标准形中正的系数个数是唯一的.*正定二次型设有实二次型如果对任何都有则称f为正定二次型并称对称矩阵A是正定的;如果对任何都有则称f为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的;*正定二次型例子是否为正定二次型?*正定二次型例子*正定二次型的充要条件实二次型f=XTAT为正定的充要条件是:它的标准形的n个系数全为正.证:充分性，设有可逆线性变换如果对任意必要性：若有则取*正定二次型的推论若二次型经过可逆线性变换为可逆矩阵，则的正定性不变。*正定二次型则k1,k2,…kr中正数的个数与l1,l2,...lr中正数的个数相等.惯性定理:设有实二次型它的秩是r,有两个线性变换使设k1,k2,…kr中正数的个数为p，l1,l2,...lr中正数的个数为t.*惯性定理证明要证p=t。反证法：假定pt*pt,上述方程组有非零解：*代入二次型：将非零解代入方程组（1），得相应的解：代入二次型：矛盾，所以pt不能成立。同理可证pt也不能成立！*正惯性指数二次型的标准形中，正平方项个数称为二次型的正惯性指数，负平方项个数称为二次型的负惯性指数。正负惯性指数的差称为符号差。推论：设A为实对称矩阵，A的正负惯性指数分别为p和q，则存在可逆矩阵C，使：其中有p个1，q个-1，n-r个0。*正定矩阵的性质对称矩阵A为正定,则A的特征值全为正.A为对称矩阵,P是可逆矩阵,则A正定的充分必要条件是PTAP正定.A为正定矩阵,则|A|0.n阶对称方阵A为正定,则R(A)=n.对称矩阵A正定则存在可逆矩阵C,使得A=CTC.*正定矩阵的判定对称矩阵A为正定的充要条件是A的各阶主子式都为正.*负定矩阵的判定对称矩阵A为负定的充要条件是A的奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.*A是否为正定?A是正定矩阵B不是正定矩阵H是负定矩阵.*正定二次型的判定法实二次型f=XTAX0(X≠0);A的特征值全大于零;A与单位矩阵相似;A的n个主子式全大于零;*若A为实对称矩阵，则下列的（）成立。(a).A的主对角元素都为正，则A为正定。(b).若|A|0，则A正定。(c).若A-1存在，且正定，则A正定。(d).若P-1AP正定，P是可逆矩阵，则A正定。*若A是正定矩阵，则若A是正定矩阵则A的n个特征值都是正定矩阵都大于零。是正定二次型，求t的取值范围。**兔子和狐狸的生态模型：A的特征值为1，0.95对角化的应用*对角化的应用*是三阶方阵它的各列元素之和都为3，且求A的特征值。已知有特征值1，-1，A能否对角化？设A的特征值为λ，ξ为A的属于λ的特征向量，求：特征值和特征向量。**二次型及标准形一个二次齐次函数称为n元二次型，其中二次型本质上是一个函数。这个函数可用矩阵形式来表示。*二次型的矩阵形式=XTAX，其中A是实对称矩阵。*二次型例子易知，A是一个实对称矩阵。A也称为二次型矩阵。*给定一个二次型矩阵A，可写出二次型二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系*二次型与线性变换对称矩阵A的秩也称为二次型的秩。设C是一个可逆矩阵，X=CY是一个可逆线性变换，则二次型

XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y定理:若A是对称矩阵,C是可逆矩阵,则

B=CTAC也是对称矩阵.因为BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B*二次型与线性变换*二次型与线性变换一个二次型经过可逆线性变换化成完全平方和形式。*标准形设A是对称矩阵,C是可逆矩阵,B=CTAC,则R(A)=R(B)可逆矩阵C与A相乘，不改变A的秩。一个二次型XTAX经过可逆线性变换X=CY后,其秩不变.特别对一个实对称矩阵A，总存在正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。因此一个二次型经过正交变换X=QY后,化成平方和形式.也称为标准形.即YTQTAQY=k1y12+k2y22+…+knyn2*标准形的矩阵形式标准形对应的二次型矩阵是对角矩阵!*化二次型为标准形A的特征值为4，1，-1*化二次型为标准形*化二次型为标准形将特征向量单位化，得正交矩阵Q。*化二次型为标准形*正交变换与二次型对一个实对称矩阵A