***可逆矩阵的性质设A是一个可逆矩阵，则可对A进行一系列初等行变换，将A化成单位矩阵；E1E2…EkA=EA-1=E1E2…EkEA的逆矩阵可以表示成一系列的初等方阵的乘积！同理，A也可表示成一系列的初等方阵的乘积！方阵A可逆的充分必要条件是存在初等方阵：E1，E2，…，Ek，使A=E1E2…EkE*用初等行变换求解方程组求解方程组AX=B*分块矩阵的初等行变换对Ａ进行初等行变换*分块矩阵的行列式且Ａ可逆，证明：设Ａ、Ｂ均为n阶矩阵，证明：其中:A为r阶方阵,D为s阶方阵.*矩阵的初等列变换下列三种变换称为矩阵的初等列变换：1交换矩阵的两列;(对换变换）2用一个非零的数去乘以矩阵的某一列;（倍乘变换）3矩阵某一列的k倍加到另一列上去。（倍加变换）对一个矩阵进行一次列变换相当于用一个初等方阵右乘该矩阵！*矩阵的初等列变换交换Ａ的第２列和第３列*矩阵的初等列变换矩阵Ａ的第３列乘以３。*矩阵的初等列变换第１列的－４倍加到第４列上去。*矩阵的初等变换矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换！一个矩阵Ａ可通过矩阵的初等变换化成如下的标准形矩阵。将Ａ化成标准形对一个矩阵Ａ进行一次初等列变换相当于用一个初等方阵右乘Ａ！*矩阵的初等变换*矩阵的初等变换*矩阵的初等变换*矩阵的等价若一个矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称矩阵A与矩阵B等价。记为等价关系具有如下的性质：1.反身性：2.对称性：3.传递性：若n阶方阵A可逆，则A与单位阵等价！任何矩阵都与它的标准形等价！***矩阵的初等变换矩阵的初等行变换；矩阵初等行变换的应用；初等方阵；分块矩阵的初等行变换；矩阵的初等列变换。*用消元法求解线性方程组**每个方程组都对应于一个矩阵，该矩阵称为增广矩阵，求解方程组只须对矩阵进行运算！*用消元法求解线性方程组对方程组的消元运算，就是对方程组的系数进行运算。方程组的系数可以用矩阵表示。方程组的消元运算可以用矩阵进行。每一个线性方程组都对应一个矩阵，称为增广矩阵。方程组的消元运算是：交换两个方程；方程两端同乘一个非零的数；某个方程乘一个数后加到另一个方程上去。*矩阵的初等行变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：1交换矩阵的两行;(对换变换）2用一个非零的数去乘以矩阵的某一行;（倍乘变换）3矩阵某一行的k倍加到另一行上去。（倍加变换）上述三种变换对应于方程组的消元法的三种运算。*A的第二行乘以3得A的第一行的-2倍加到第三行上去，得交换一，三两行*初等行变换注意事项一个矩阵在进行初等行变换时，不能用等号。一个矩阵经过初等行变换后，与原矩阵不相等。一个线性方程组完全可以用矩阵的初等行变换求出它的解。*用初等行变换求解线性方程组对应的增广矩阵为：对其增广矩阵进行初等行变换*用矩阵初等行变换化简矩阵*这个矩阵称为阶梯形矩阵*最后一个矩阵称为行最简形矩阵，即阶梯形矩阵中，非零行的第一个非零元素是1,且该元素所在的列的其它元素都是零。由此得原方程组的解：求解线性方程组的过程就是将其增广矩阵化成行最简形矩阵!*行阶梯形矩阵与行最简形矩阵一个矩阵满足如下两个条件则称为行阶梯形矩阵：

矩阵中所有的零行（该行中所有元素为零）在矩阵的下方;

矩阵中每个非零行的首个非零元素的列下标按行严格递增。行阶梯形矩阵中每个非零行的首个非零元素是1，且该列上的其它元素为零，则称为行最简形矩阵。*以上两个矩阵为行阶梯形矩阵。这三个矩阵都不是行阶梯形矩阵。*这是一个行最简形矩阵它是一个行阶梯形矩阵，但不是一个行最简形矩阵！*初等行变换与行最简形矩阵一个矩阵A总可以经过初等行变换化成行最简形矩阵。将B化成行最简形矩阵。**一个矩阵Ａ总可经过初等行变换化成行阶梯形；一个矩阵Ａ总可经过初等行变换化成行最简形；*初等方阵将单位阵进行一次初等行变换后所得的矩阵称为初等方阵。交换了单位阵的第二行与第三行记为E(2,3)*单位矩阵的初等行变换将单位阵的第三行乘以数k,记为E(3(k))将单位阵的第二行乘以数k,加到第三行上去，记为E(23(k))*矩阵的初等行变换与初等方阵对一个矩阵进行一次初等行变换，就是用一个初等方阵左乘该矩阵。*矩阵的初等行变换与初等方阵*矩阵的初等行变换与初等方阵矩阵的初等行变换可以用矩阵的乘法来表示。矩阵的三种初等行变换对应于三种初等方阵，E(i,j),E(i(k)),E(ij(k))对一个矩阵进行一系列初等行变换，就是用一系列初等方阵左乘该矩阵