令它对f(x)=1,x均准确成立,即从而得两点Gauss—Legendre公式:类似地,三点Gauss—Legendre公式形式为:Gauss—Legendre公式节点和系数详见教材。第62页,共97页,星期日,2025年,2月5日对于一般区间上的积分,也可以利用教材中表格的数据写出Gauss型求积公式。其原理与方法是:先作变量替换,令则将上积分化为上的积分:记,则上式化为:利用表中数据,对于给定的n=1,2,3,4,可以写出Gauss型公式:第63页,共97页,星期日,2025年,2月5日即代入(A)得:其中系数和节点可查表得出,由变量替换公式易见,由于求积公式(C)对变量t不高于2n+1的多项式准确成立,从而求积公式(D)对自变量x的不高于2n+1的多项式也准确成立,即(D)是Gauss型求积公式。例:利用四点Gauss求积公式计算的近似值。解:由教材中表示Gauss型求积公式(D)得:第64页,共97页,星期日,2025年,2月5日其中a=0,b=1,=-0=-0将上述各数据代入上公式中有:优点:在此例计算过程中,只涉及到四个点上的函数值,可见Gauss型求积公式具有计算工作量小,所得近似值精确度高的优点,是一种高精度的求积公式。Gauss型求积公式的缺点是:当n改变大小时,系数和节点几乎都在改变。虽然可以通过其他资料查到较大n的系数和节点,但应用时却十分不便。同时,余项却涉及到高阶导数(被积函数的),要利用它们来控制精度也十分困难。第65页,共97页,星期日,2025年,2月5日为克服这些缺点,在实际计算中较多地采用复合求积的方法。例如,先把积分区间分成m个等长的小区间然后,在每个小区间上使用同一低阶(如二点的,三点的,…)高斯型求积公式算出积分近似值,再相加即将积分的近似值:其中,由查表可得。同时在实际计算中,还常用相邻两次计算结果和的关系式相当于相对误差)即算出后,观察是否成立,以判定是否终止计算。请同学们据此编程计算。来控制运算(当时,第66页,共97页,星期日,2025年,2月5日证明:以为节点构造次数的多项式H(x)使满足条件:由第二章Hermite插值知,H(x)为Hermite插值多项式。由于Gauss公式具有2n+1次代数精度,则它对H(x)能准确成立,即其中定理:对于Gauss公式(1),其余项为:三Gauss公式的余项第67页,共97页,星期日,2025年,2月5日再注意到函数在上保号,应用积分中值定理即可得结论。对比Newton-cotes公式,Gauss不但具有高精度,而且是数值稳定的。Gauss公式之所以能够保证数值稳定性,是由于其求积系数具有稳定性。证明:由于是n次多项式,因而是2n次多项式,故Gauss公式对能准确成立。即的求积系数全是正的。即定理:Gauss求积公式四Gauss公式的稳定性注意到从而上式右端实际上等于从而有:故定理得证。第68页,共97页,星期日,2025年,2月5日故