数学向量中档题目及答案
一、选择题
1.若向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)的坐标为（）
A.\((3,-1)\)
B.\((3,1)\)
C.\((1,-1)\)
D.\((1,1)\)
答案：A
解析：向量加法的坐标运算是将对应坐标相加，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+1,-3+2)=(3,-1)\)。
2.若向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，则\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)的坐标为（）
A.\((1,-5)\)
B.\((1,-1)\)
C.\((3,-5)\)
D.\((3,-1)\)
答案：A
解析：向量减法的坐标运算是将对应坐标相减，即\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-1,-3-2)=(1,-5)\)。
3.若向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值为（）
A.4
B.-4
C.8
D.-8
答案：B
解析：向量点积的坐标运算是对应坐标乘积之和，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times1+(-3)\times2=2-6=-4\)。
4.若向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，则\(|\overrightarrow{a}|\)的值为（）
A.3
B.\(\sqrt{13}\)
C.5
D.\(\sqrt{5}\)
答案：B
解析：向量的模长是其坐标构成的直角三角形的斜边，即\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。
二、填空题
5.若向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角的余弦值为\(\frac{3\times2+4\times(-1)}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{6-4}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\)。
6.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角的正弦值为\(\sqrt{1-\left(\frac{3\times1+(-2)\times2}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{3-4}{\sqrt{5}\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{-1}{\sqrt{65}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{65}}=\sqrt{\frac{64}{65}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}\)。
三、解答题
7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1)\)，求向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影。
解答：
向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影长度为\(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{1\times2+1\times(-1)}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{2-1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)。
投影方向与\