函数极限总结
一、极限得产生
极限理论就就是研究关于极限得严格定义、基本性质和判别准则等问题得基础理论。
极限思想得萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上得首次出现于沃利斯得《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学得数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念得基础之上,微积分才就就是完善得，柯西最先给出了极限得描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限得严格定义(ε-δ和ε－N定义)。
从此，各种极限问题才有了切实可行得判别准则,使极限理论成为了微积分得工具和基础。[1］
二、极限知识点总结
极限定义
函数极限：设函数ｆ（x)在点得x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定得正数ε(无论她多么小)，总存在正数,使得当x满足不等式时，对应得函数值都满足不等式:
那么常数Ａ就叫做函数f(x）?当x→x0时得极限,记作。[2］
单侧极限：?、左极限:或
?、右极限：或
定理:
函数当时极限存在得充分必要条件就就是左、右极限各自存在且相等即。
极限概念
函数极限可以分成以得极限为例，f(x)在点x0以Ａ为极限得定义就就是:对于任意给定得正数ε(无论她多么小），总存在正数δ，使得当ｘ满足不等式时,对应得函数值ｆ(ｘ）都满足不等式：|f(x）-Ａ|ε,那么常数Ａ就叫做函数f(x）当x→x。时得极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[２]
存在准则
有些函数得极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用得判定数列极限得定理。
准则Ⅰ、如果数列,及满足以下条件:
从某项起,即,当时,有;
；,
那么数列得极限存在，且
准则Ⅰ如果(１)当(或)时,
(2),，
那么存在,且等于。
夹逼定理:（1）当时,有??成立
(2）?,那么,极限存在,且等于A
【准则Ⅰ,准则Ⅰ′合称夹逼定理】
准则Ⅱ:单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇：设函数在点得某个左（右)邻域内单调并且有界,则在得左（右)极限必定存在[３］
单调有界准则:单调增加(减少）有上(下）界得数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛得充分必要条件就就是任给,存在,使得当,时,有成立。[2］
极限运算相关法则、定理及推论
、设α、β为同一极限过程下得无穷小
(无穷小)
、穷小之积为无穷小
(无穷小)
推论:?、常数与无穷小之积为无穷小
?、有限个无穷小之积为无穷小
、有界函数与无穷小之积为无穷小
、函数极限运算法则
定理:设，则
?
??
?若，则
推论1、如果存在,而c为常数那么
推论2、则
定理(复合函数求极限法则）
设函数就就是由函数与函数复合而成，在点得某去心邻域内有定义,若，且存在,当时,有,则。
两个重要极限:?、
?、即若,
则
常用等价无穷小：当时,
,，，
计算极限方法总结
直接带入求极限
例1、
【解】
(2)约零因子求极限
例２、求极限
【说明】x→１表明ｘ与1无限接近,但。所以x-1这一零因子可以约去。
【解】
(3)分子分母同除求极限(公式法）
例3、求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出得极限,可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】(1)一般分子分母同除x得最高次方
(2)
（4)分子（分母）有理化求极限
例4、求极限
【说明】分子分母有理化求极限,就就是通过有理化去除无理式
【解】
例5、求极限
【解】
【注】本题除使用分子有理化方法外,及时分离极限式中得非零因子就就是解题得关键。
（５)应用两个重要极限求极限
【说明】两个重要极限就就是和
例6、求极限
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤:先凑出1，在凑,最后凑指数部分。
【解】
(6)用等价无穷小两代换求极限
【说明】(1)常见得等价无穷小有:
当x→0时,ｘ=sｉnx=ｔanｘ=arｃsiｎx＝ａｒcｔａnx＝ｌｎ(1+x)=ex-1，
1-cosx=,,,
。
（2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中得因式；
（3）此方法在各种求极限得方法中应作为首选。
例７、求极限
【解】
例8、求极限
【解】
(7）用洛必达法则求极限
例9、求极限
【说明】和型得极限,可通过洛必达法则来求。
【解】
【注】有许多变动上限得积分表示得极限,常用洛必达法则求解。
例1０、设函数连续,且,求极限
【解】由于,于就就是
(８)用对数恒等式求极限
例１１、求极限
【解】
【注】对于形势得未定式，也可用公式
因为
例１2、求极限
【解1】原式=