用变分法解平面问题第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日在x方向上，有正应力和正应变,则单位体积的形变势能（又称应变能或内力势能)为：图5-13）另外，若在x和y方向上有切应力,相应的切应变为,则其形变势能为§5－1弹性体的形变势能和外力势能弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法形变势能密度1、形变势能2）同理，在y方向上的应变势能为:第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日弹性体有全部六个应力分量：则弹性体的全部形变势能密度：（a）对于平面问题，则形变势能密度：（b）整个弹性体的形变势能U为（取h＝1单位）：（c）ijmxyh图5-24）整个弹性体的形变势能第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日2.1用应变分量表示形变势能平面应力问题的物理方程：（d）代入（b）式，得：（e）结论：弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量2、形变势能的表示形式第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日2.2用位移分量表示形变势能由几何方程代入（e）式，即得：（f）注：叠加原理不适合于形变势能平面应变问题时,将上述各式中的和作如下替换第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日外力功：外力（体力和面力）在实际位移上所做的功弹性体受体力和面力作用，平面区域A内的体力分量为、，边界上的面力分量为、，则（5－17)外力势能为：（5－18）3、外力势能第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日§5－2位移变分方程虚位移或者位移变分假想位移分量v、u发生了位移边界条件所容许的微小改变实际位移状态虚位移状态AB图5－8x实际位移分量：u，v虚位移状态：1、虚位移第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日2、微分和变分的异同1）运算对象不同在微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数例如：，由坐标的微分dx引起函数的微分是在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分引起形变势能的变分是2）运算方法是相同因为微分和变分都是微量第8页，共21页，星期日，2025年，2月5日3、外力势能和形变势能的变分由于位移的变分，引起外力功的变分（即外力虚功）和外力势能的变分(5-19)(5-20)(注：外力作为恒力计算）引起形变势能的变分：（注：应力分量作为恒力计算）第9页，共21页，星期日，2025年，2月5日4、位移变分方程1）在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。（5－22）3）虚功方程将用式（5－21），表示，再代入位移变分方程（5－22），得到外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功（条件：弹性体变形前处于平衡状态）（5－24）内力虚功=外力虚功2）极小势能原理在给定的外力作用之下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值第10页，共21页，星期日，2025年，2月5日现在我们得出，实际存在的位移，除了预先满足位移边界条件外，还必须满足位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）。而且，通过进一步运算，还可以从位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）导出平衡微分方程和应力边界条件结论位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件第11页，共21页，星期日，2025年，2月5日§5－3位移变分法变分解法（瑞利－里茨法）思路：1）设定一组包含若干特定系数的位移分量的表达式，并使它们满足位移边界条件，2）然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）3）求出待定系数，即得出实际位移第12页，共21页，星期日，2025年，2月5日取位移表达式：（5－25）其中和均为设定的坐标函数，并在约束边界上，令分别等于给定的约束位移值，令分别等于零。（