例1证明矩阵A=O的充分必要条件是方阵ATA=O.第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日6、线性方程组的各种形式对于线性方程组记第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日其中A称为系数矩阵，x称为未知向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，可记B=(Ab),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（2）以向量x为未知元，它的解称为方程组（1）的解向量.第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组Ax=b可记作或这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi记作第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日如果把系数矩阵A按列分成n块，则与A相乘的x应对应地按行分成n块，从而记作即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的各种变形.今后，它们与（1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程.第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日7、初等变换结论:每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵也称为Hermite标准形。思考：初等变换的应用？求逆；解方程组；解矩阵方程;判断向量组的秩和矩阵的秩等等.第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日例2设试用初等行变换将A化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日解第39页，共64页，星期日，2025年，2月5日继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：第40页，共64页，星期日，2025年，2月5日第41页，共64页，星期日，2025年，2月5日解例3用初等行变换解方程组第42页，共64页，星期日，2025年，2月5日第43页，共64页，星期日，2025年，2月5日为矩阵A的相抵标准型。结论：对于任何m×n型非零矩阵A，可经过有限次初等变换化成标准型，即存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵使得定义称矩阵第44页，共64页，星期日，2025年，2月5日附录知识要点8.n维向量1)2)向量的相等,零向量,负向量.第45页，共64页，星期日，2025年，2月5日第1页，共64页，星期日，2025年，2月5日问题一线性方程组的求解给定一个m个方程n个变量的线性方程组记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为第2页，共64页，星期日，2025年，2月5日其中解的形式：（1）当m=n，且A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为当m=n，且A不可逆时，或者当时，线性方程组的解又如何表示呢？特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。广义逆矩阵问题第3页，共64页，星期日，2025年，2月5日问题二矩阵的算术运算矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算第4页，共64页，星期日，2025年，2月5日如何定义矩阵的除法运算在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为X=A-1B问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。第5页，共64页，星期日，2025年，2月5日问题三矩阵的分析运算在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。第6页，共64页，星期日，2