因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而*第61页，共78页，星期日，2025年，2月5日3+1维波动方程或声波方程n+1维波动方程*第29页，共78页，星期日，2025年，2月5日1.4定解条件和定解问题*第30页，共78页，星期日，2025年，2月5日列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x,t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。例如:在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即u(0,t)=0，u(l,t)=0，这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：定解条件第31页，共78页，星期日，2025年，2月5日要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数u(x,t)，它在区域0xl,t0中满足波动方程(2.1)；在x轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件(2.3)和(2.4)。一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件。定解条件第32页，共78页，星期日，2025年，2月5日波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度定解条件第33页，共78页，星期日，2025年，2月5日(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况波动方程的三类边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。或诺依曼（Neumann）边界条件狄利克雷（Dirichlet）边界条件第34页，共78页，星期日，2025年，2月5日同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。定解条件第35页，共78页，星期日，2025年，2月5日定解问题定解问题适定性概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。第36页，共78页，星期日，2025年，2月5日经典的定解问题举例维波动方程(弦振动方程)的初值问题*第37页，共78页，星期日，2025年，2月5日经典的定解问题举例热传导方程的初值问题*第38页，共78页，星期日，2025年，2月5日经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）*第39页，共78页，星期日，2025年，2月5日经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题*第40页，共78页，星期日，2025年，2月5日何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小．*第41页，共78页，星期日，2025年，2月5日除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。定解问题适定性概念第42页，共78页，星期日，