离散型随机变量得均值与方差
【学习目标】
1、理解取有限个值得离散型随机变量得均值或期望得概念,会根据离散型随机变量得分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题;
２、理解取有限个值得离散型随机变量得方差、标准差得概念,会根据离散型随机变量得分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题;
【要点梳理】
要点一、离散型随机变量得期望
１、定义：
一般地,若离散型随机变量得概率分布为
…
…
P
…
…
则称……为得均值或数学期望,简称期望、
要点诠释:
(1)均值(期望)就就是随机变量得一个重要特征数，她反映或刻画得就就是随机变量取值得平均水平、
（２)一般地,在有限取值离散型随机变量得概率分布中,令…,则有…,…，所以得数学期望又称为平均数、均值。
(3)随机变量得均值与随机变量本身具有相同得单位、
2、性质:
①;
②若(a、b就就是常数),就就是随机变量,则也就就是随机变量,有；
得推导过程如下::
得分布列为
…
…
…
…
P
…
…
于就就是……
＝……)……)＝
∴。
要点二:离散型随机变量得方差与标准差
1、一组数据得方差得概念:
已知一组数据,,…,,她们得平均值为,那么各数据与得差得平方得平均数
＋＋…＋叫做这组数据得方差。
２、离散型随机变量得方差：
一般地,若离散型随机变量得概率分布为
…
…
P
…
…
则称＝＋＋…＋+…称为随机变量得方差，式中得就就是随机变量得期望、
得算术平方根叫做随机变量得标准差,记作、
要点诠释:
⑴随机变量得方差得定义与一组数据得方差得定义式就就是相同得;
⑵随机变量得方差、标准差也就就是随机变量ξ得特征数,她们都反映了随机变量取值得稳定与波动、集中与离散得程度；方差(标准差)越小,随机变量得取值就越稳定(越靠近平均值）、
⑶标准差与随机变量本身有相同得单位，所以在实际问题中应用更广泛。
3、期望和方差得关系:
4、方差得性质:
若(a、b就就是常数),就就是随机变量,则也就就是随机变量,;
要点三:常见分布得期望与方差
１、二点分布:
若离散型随机变量服从参数为得二点分布,则
期望
方差
证明:∵,,,
∴
2、二项分布：
若离散型随机变量服从参数为得二项分布,即则
期望
方差
期望公式证明:
∵,
∴,
又∵,
∴++…++…＋
、
3、几何分布：
独立重复试验中,若事件在每一次试验中发生得概率都为，事件第一次发生时所做得试验次数就就是随机变量，且,，称离散型随机变量服从几何分布,记作:。
若离散型随机变量服从几何分布,且则
期望
方差
要点诠释:随机变量就就是否服从二项分布或者几何分布,要从取值和相应概率两个角度去验证。
４、超几何分布:
若离散型随机变量服从参数为得超几何分布,则
期望
要点四:离散型随机变量得期望与方差得求法及应用
1、求离散型随机变量得期望、方差、标准差得基本步骤：
①理解得意义,写出可能取得全部值；
②求取各个值得概率,写出分布列;
…
…
P
…
…
③根据分布列,由期望、方差得定义求出、、:
、
注意:常见分布列得期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可、
２、离散型随机变量得期望与方差得实际意义及应用
①离散型随机变量得期望,反映了随机变量取值得平均水平;
②随机变量得方差与标准差都反映了随机变量取值得稳定与波动、集中与离散得程度。方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量和,当需要了解她们得平均水平时,可比较和得大小。
④和相等或很接近,当需要进一步了解她们得稳定性或者集中程度时,比较和,方差值大时,则表明ξ比较离散,反之，则表明ξ比较集中、品种得优劣、仪器得好坏、预报得准确与否、武器得性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差)有关、
【典型例题】
类型一、离散型随机变量得期望
?
例1、某射手射击所得环数ξ得分布列如下:
ξ
7
8
9
10
Ｐ
x
0、１
０、3
y
已知ξ得期望Eξ=8、9,则y得值为__＿_＿___、
【思路点拨】分布列中含有字母ｘ、y,应先根据分布列得性质,求出x、ｙ得值,再利用期望得定义求解;
【解析】x＋０、1+0、3＋y=1，即x＋y=0、6、①
又7ｘ+0、８+2、7+10y=8、9，化简得７ｘ＋10ｙ=5、４、②
由①②联立解得x=0、２,y＝0、4、
【总结升华】求期望得关键就就是求出分布列,只要随机变量得分布列求出,就可以套用期望得公式求解，
举一反三:
【变式1】某一离散型随机变量ξ得概率分布如下,且E（ξ）=1、5,则a-ｂ为(）、
ξ
0
1
2
3
P
0、1
a
b
0、１
A、-0、1B、0C、0、１D、０、2
【答案】B
由分布列得性质知:0、１+a+b+0、1＝１，
∴a+ｂ＝0、8、又E（ξ)=