研究生概率论题库及答案
一、单项选择题（每题2分，共10题）
1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则随着σ的增大，概率P{|X-μ|σ}（）
A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定
答案：C
解析：P{|X-μ|σ}=P{μ-σXμ+σ}，根据正态分布的性质，该概率值只与μ和σ的相对关系有关，与σ的具体大小无关，所以保持不变。
2.已知随机变量X和Y相互独立，且它们的方差分别为D(X)=2，D(Y)=3，则D(X-Y)=()
A.1B.2C.3D.5
答案：D
解析：因为X和Y相互独立，所以D(X-Y)=D(X)+D(Y)=2+3=5。
3.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X?,X?,…,X?是来自总体X的简单随机样本，则样本均值\(\overline{X}\)的数学期望E(\(\overline{X}\))=()
A.λB.\(\frac{λ}{n}\)C.nλD.\(\frac{n}{λ}\)
答案：A
解析：由泊松分布的性质可知，总体均值为λ，样本均值的数学期望等于总体均值，所以E(\(\overline{X}\))=λ。
4.设A,B为两个随机事件，且P(A)0,P(B)0，则P(A|B)=P(A)是事件A与B()
A.互不相容B.相互独立C.对立D.不独立
答案：B
解析：根据条件概率公式P(A|B)=\(\frac{P(AB)}{P(B)}\)，当P(A|B)=P(A)时，即\(\frac{P(AB)}{P(B)}\)=P(A)，可得P(AB)=P(A)P(B)，这是事件A与B相互独立的定义。
5.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=\(\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}\)，则P{0.2X0.5}=()
A.0.21B.0.25C.0.4D.0.5
答案：A
解析：P{0.2X0.5}=\(\int_{0.2}^{0.5}2xdx\)=x2|?.??.?=0.25-0.04=0.21。
6.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则F(+∞,+∞)=()
A.0B.1C.0.5D.无法确定
答案：B
解析：联合分布函数F(x,y)的性质，F(+∞,+∞)=1，表示整个二维平面的概率。
7.已知随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则E(X2)=()
A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{6}\)
答案：A
解析：对于均匀分布X~U[0,1]，E(X2)=\(\int_{0}^{1}x2dx\)=\(\frac{1}{3}\)。
8.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X=a}=()
A.F(a)B.F(a?)-F(a)C.F(a)-F(a?)D.0
答案：C
解析：根据分布函数的性质，P{X=a}=F(a)-F(a?)。
9.设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，σ2已知，X?,X?,…,X?是来自总体X的简单随机样本，要检验H?:μ=μ?，采用的统计量是()
A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\)C.\(\chi2=\frac{(n-1)S2}{\sigma2}\)D.\(F=\frac{S_12}{S_22}\)
答案：A
解析：当总体方差已知时，检验总体均值采用Z统计量，即\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)。
10.设事件A与B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)=()
A.0.7B.0.8C.0.9D.1
答案：A
解析：因为A与B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.5-0.4×0.5=0.7。
二、多项选择题（每题2分，共10题）
1.设随机变量X