第1页，共24页，星期日，2025年，2月5日由于模型谱估计不需要加窗，因而可以消除窗函数的畸变影响，得到比传统谱估计更高的频率分辨率，尤其是对短记录数据。4.12.1有理系统函数模型为白噪声，为u(n)的平均功率，于是从而功率谱估计就转化为估计，设的函数形式已知，只是其中的若干参数未知，则估计就转化为参数估计。分辨率和谱保真度改善的程度取决于模型拟合的程度。第2页，共24页，星期日，2025年，2月5日设线性系统具有如下形式的系统函数：其中，称为系统的AR(自回归)分支。其中，称为系统的MA(滑动平均)分支。ARMA模型的多重性：指不同的模型具有相同的功率谱，也称为功率谱等价或相关函数等价。为了保证模型唯一性，要求滤波器是因果的，并且可逆。只有最小相位系统才能保证其逆系统是一个稳定的系统。因此一般考虑平稳过程是因果的和最小相位的。即A(z)=0和B(z)=0的根全部在单位圆内。第3页，共24页，星期日，2025年，2月5日z在单位圆上取值，可得令a0=b0=1，模型称为自回归－滑动平均模型，简记为ARMA(p,q)模型。即令输入为u(n)，输出为x(n)，系统可由如下差分方程描述：如果除a0=1之外，其它ak=0，即有称为MA(q)过程（全零点模型），其功率谱为：第4页，共24页，星期日，2025年，2月5日如果除b0=1之外，其它bk=0，即有：称为AR(p)过程（全极点模型），其功率谱为：4.12.2三种模型之间的关系AR模型和MA模型是ARMA模型的两个特例。MA和ARMA模型参数估计方法要比单纯的AR模型参数估计困难，并常借助于AR模型参数估计方法。第5页，共24页，星期日，2025年，2月5日由于可用的数据有限，不论采用何种参数估计法，待估计的参数愈多，估计的精度就愈差。模型间转化的理论基础是Kolmogorov定理，即任何ARMA(p,q)过程或MA(q)过程都能用无限阶的AR(∞)过程表示；同样，任何ARMA(p,q)过程或AR(p)过程也可用一个MA(∞)过程表示。这说明即使对于待研究过程选用了不太合适的模型，只要它的阶数足够高，就可作为过程的很好近似。第6页，共24页，星期日，2025年，2月5日ARMA(p,q)及MA(q)与AR(∞)模型间的等效关系：1ARMA(p,q)模型可等效成AR(∞)模型其中，，令输入为白噪声过程u(n)，输出为x(n)，则故x(n)为AR(∞)过程。例题（自己看）第7页，共24页，星期日，2025年，2月5日2MA(q)模型可等效成MA(∞)模型MA模型求逆Z变换，得故可等效成AR(∞)模型。同样可将ARMA(p,q)模型或AR(p)模型表示成MA(∞)模型。4.12.3模型的选定模型选定的原则：第8页，共24页，星期日，2025年，2月5日1节俭(Parsimony)原理。指模型应包括尽可能少的参数，并根据实际情况加以调节，因为在相当多的模型中，用最少的模型参数可能并不是有效的。2选定模型要考虑模型能表示谱峰、谱谷等方面的能力。对具有尖峰的谱，需要具有极点的模型（AR或ARMA模型），如果用MA模型去估计其功率谱密度，结果将很差。ARMA模型适合于功率谱中既有尖峰又有凹谷的过程。MA模型则适合于真实谱中仅含有陡窄凹谷的过程。第9页，共24页，星期日，2025年，2月5日4.12.4滑动平均谱估计及阶数确定1滑动平均谱估计由于MA(q)过程的功率谱：令m=l-k，l=k＋m，可得又MA过程的自相关函数是：第10页，共24页，星期日，2025年，2月5日因此功率谱恒等于BT谱估计，但意义不同MA(q)过程的相关函数具有截尾特性，即当mq时，相关函数为零。这一特性对判断模型的性质十分重要。第11页，共24页，星期日，2025年，2月5日2滑动平均模型阶数的确定Durbin提出可将MA(q)过程转换为AR过程，然后用Yule-Walker方程去估计MA参数。Chow提出利用无