第二章杆单元与梁单元第3讲有限元梁单元第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元一、离散化，节点位移与节点载荷对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度及转角。第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元一个节点位移用列阵表示为：称为节点i的节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力和弯矩，称为广义力。第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。称为节点i的节点载荷。结构上一个节点的载荷用列阵表示为：第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元二、单元特性分析——建立简单梁单元的单元刚度方程单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度；分析一个从上述离散梁结构中取出的典型梁单元e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。1、单元的描述第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。单元节点位移：结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。称为单元e的单元节点力列阵（向量）。单元节点力：第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元2、单元特性的建立与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的特性（刚度特性）。下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：简记为：第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：（这里1，2，3，4是单元自由度序号）第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。刚度方程第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元按上述物理意义求刚度矩阵元素：按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下：挠度：转角：联立解出：再由梁单元的静力平衡条件得：梁单元位移至此已求出刚度矩阵的第1列元素。第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元再设：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：梁单元变形由刚度方程可得：第11页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；2）奇异性；3）主对角元素恒正。刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：第12页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。单元节点力列阵分块：单元节点位移列阵分块：分块形式的单元刚度矩阵：上面每一子块均为2×1子列阵。每一子块均为2×2子矩阵3、单元刚度方程的分块第13页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：因此，单元刚度方程分块形式表示为：从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节点位移对对应节点力的贡献。第14页，共37页，星期日，2025年，2月5日上面按分块形式表示的单元刚度方程——节点力～节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简洁，在有限元分析中广泛采用。§2.3简单梁单元第15页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2.3简单梁单元