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北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（???）
A． B． C． D．
3．已知边长为2的正方形中，与交于点，则（???）
A．2 B． C．1 D．
4．已知函数，则当时，有（????）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
5．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（???）
A． B． C． D．
7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（???）
（参考数据：，）
A．280 B．300 C．360 D．640
8．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
9．已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（???）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知在数列中，，命题对任意的正整数，都有．若对于区间中的任一实数，命题为真命题，则区间可以是（????）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知复数，则.
12．已知函数若，则.
13．已知幂函数的图像经过，，，中的三个点，写出满足条件的一个的值为.
14．在中，，.
（1）；
（2）若的最长边的长为，则最短边的长为.
15．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.
给出下列命题：
①“函数”的充要条件是“，关于的方程都有实数解”；
②“函数”的充要条件是“既有最大值，也有最小值”；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数，的定义域相同，且，，则.
其中，正确命题的序号是.
三、解答题
16．已知函数，其中，.记的最小正周期为，.
(1)求的值；
(2)若与轴相邻交点间的距离为，求在区间上的最大值和最小值.
17．在中，.
(1)求的大小；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长.
条件①：的面积为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
19．已知椭圆：（）的左顶点为，的长轴长为4，焦距为.过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，.
(1)求的方程；
(2)是否存在点，使得等于定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20．已知函数，.
(1)当时，求曲线y=fx在点1,f1
(2)若函数是单调递增函数，求的取值范围；
(3)当时，是否存在三个实数且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
21．已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）.
(1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）；
(2)若，且对任意的，都有，求的最大值；
(3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值.
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
D
A
C
B
D
D
1．D
【分析】先求出集合A，然后求出，进而求得.
【详解】由，得，所以,
因为，所以,
所以.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果.
【详解】，则，解得，故原不等式的解集为．
故选：C
3．A
【分析】找基底分别表示，然后计算即可.
【详解】由题可知，,,
所以
故选：A
4．B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
5．D
【详解】