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2024年北京市朝阳区数学高三上学期期中考试试卷+答案
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设集合，集合，则
A. B. C. D.
2.若函数在处取得最小值，则
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
4.如图，在中，,,则
A. B.
C. D.
5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是
A. B. C. D.
6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”．由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有
A.1天 B.2天 C.3天 D.4天
7．已知均为第二象限角，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
9．在三棱锥中，棱两两垂直，点在底面内，已知点到所在直线的距离分别为，则线段的长为
A.B.C.D.
10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：
①，；
②，
则的最大值是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，共25分。
11．计算_________
12．在中，已知，则_________；_________.
13．已知数列的前项和为（为常数），写出一个有序数对_________，使得数列是递增数列.
14．某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：）满足函数关系（为常数，其中)．已知该疫苗在时的有效保存时间是，在时的有效保存时间是，则该疫苗在时的有效保存时间是_________.
15.对于无穷数列，若存在常数，对任意的，都有不等式
成立，则称数列具有性质.
给出下列结论：
①存在公差不为的等差数列具有性质；
②以为首项，为公比的等比数列具有性质；
③若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质；
④若数列和均具有性质，则数列也具有性质.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
在中，.
（I）求的值；
（II）若，求及的面积.
17.（本小题15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面的夹角的余弦值；
（III）记平面与平面的交线为，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
18.（本小题13分）
已知函数
（I）若，求的最小值；
（II）若存在极小值，求的取值范围
19.（本小题14分）
设函数.
（I）若，求的值；
（II）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：当时，取到最小值；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如何选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.（本小题15分）
已知函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论在区间上的零点个数；
（III）若其中求证：
21.（本小题15分）
若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：
①；
②对任意的，都存在正整数，使得.
（I）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
（II）已知数列A：，，，…，是T数列.
（i）证明：对任意的，与不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求的最大值.
2024年北京市朝阳区数学高三上学期期中考试答案
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.A
2.C
3.D
4.C
5.C
6.B
7.C
8.B
9.A
10.B
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，共25分。
11．
12．，．
13．答案不唯一
14．
15.②③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题1