北京市朝阳区2023～2024学年度第二学期期末质量检测
高一数学试卷
2024．7
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
第一部分（选择题共分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若复数满足，则（）
A B. C. D.
2.已知向量，，则（）
A. B. C.3 D.5
3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（）
A.8 B.16 C. D.
4.已知，是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的（）
A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在中，，，，则（）
A. B. C. D.
6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为（）
A.18 B.21 C.24 D.27
7.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（）
A B. C.3 D.或3
8.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度（以下简称增速）统计图．
注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．
下列说法正确的是（）
A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大
B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小
C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月
D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月
9.在梯形中，，，，，，则与夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（）
A.0 B. C.1 D.2
第二部分（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取20人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数为______．
12.袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4．若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是______；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是______．
13.在中，点D，E满足，．若，则______．
14.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______．
15.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则______，______．
16.在正四棱锥中，与所成的角的大小为α，PA与底面所成的角的大小为β，侧面与底面所成的角的大小为，二面角的大小为．给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．
18.生成式人工智能（AIGC）工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用．为了解学生对生成式人工智能工具使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下数据：
经常使用
20人
偶尔使用
30人
从未使用
50人
用频率估计概率．
（1）估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
（2）假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；
（3）从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第次抽取的10名学生中，有名学生经常使用生成式人工智能工具，有名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具．将，，，，的方差记为，，，，，的方差记为，比较，的大小．（结论不要求证明）
19.在中，．
（1）求；
（2）若的面积是，求的最小值．
20.如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．
（1）求证：；
（2）若M是线段上点，平