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北海市2025届高三第四次模拟考试
数学试卷
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解一元二次不等式得到或，再结合交集、补集运算即可求解.
【详解】因为或，
所以，
故选：C．
2.若复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算即可求解.
【详解】．所以虚部为，
故选：D．
3.桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有（）
A.12种 B.14种 C.18种 D.20种
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数与组合数计算即可求解.
【详解】因为必须包含景点象鼻山，
所以从剩下的3个景点中选择2个景点与象鼻山组合，有种选法，游览顺序可以不同，
所以共有种不同的游览路线.
故选：C．
4.DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若DeepSeek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（）
A.60 B.61 C.62 D.63
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件代入计算求解.
【详解】由题可得，则，
故选：A．
5.已知抛物线的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点，到焦点的距离为5，则点的纵坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得抛物线的标准方程，设点坐标为.由抛物线的定义列方程可解得的值，代入抛物线方程即可求解.
【详解】由题可得抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
设点坐标为，过点作于点.
由于点到焦点的距离为5，根据抛物线的定义可知：，解得，
代入抛物线方程，解得，即点的纵坐标为.
故选：B.
6.在中，内角所对的边分别为．已知的面积为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由面积公式求得，再结合余弦定理即可求解.
【详解】因为．所以．
又的面积为，所以，
所以．
由余弦定理，
得，
所以，
所以，
故选：B．
7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（）
A. B. C. D.16
【答案】C
【解析】
【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解.
【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.
因为正四棱锥的底面边长为，
所以.
又，所以，即，解得.
所以，所以正四棱锥的体积为.
故选：C.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（）
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，渐近线方程为，由题意得，，由斜率相等及双曲线性质用表示出，再将点坐标代入双曲线方程，结合离心率公式即可求解.
【详解】设，渐近线方程为，
因为在以为直径的圆上，所以，
因为的中点在双曲线的渐近线上，设的中点为，则，
所以，且，
解得，
将代入双曲线的方程可得，
化简可得，即有，解得.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件为“该学生报名参加数学竞赛”，事件为“该学生报名参加物理竞赛”．则以下说法正确的是（）
A.事件和事件是独立事件 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、条件概率公式及概率的基本性质逐项求解判断.
【