高二数学暑假自主学习单元检测三参考答案
一、填空题：
1．答案：解析：依题意得，曲线在点（0,1）处的切线的斜率等于2，因此该切线方程是．
2．答案：解析：的定义域为，则由得，当时，在上单调递增．
3．答案：解析：函数的定义域为.
因为，所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值．
4．答案：10解析：由题意得，故，解得．
5．答案：-2解析：∵，∴为奇函数，∴
6．答案：6解析：由题意得，，，．
7．答案：144cm3解析：设小正方形边长为xcm，则盒子容积V(x)＝x(10－2x)(16－2x)＝4(x3－13x2＋40x)(0＜x＜5)．V′(x)＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)．令V′(x)＝0，解得x＝2或.但，∴x＝2，∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x＝2时，V(x)最大，V(2)＝4(8－52＋80)＝144.
8．答案：cab解析：依题意得，当时，有，为增函数；
又，且，因此有，即有．
9.答案：(－1,1)解析：的两根为x1＝－2，x2＝a.若f(x)在（－1,1）上不单调，则－1＜a＜1.
10．答案：解析：的定义域为，，由，得.∴.①若a≥0，由，得x=1.
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.满足题意；②若a0，由，得x=1,.由题意知，即．
11．答案：(－2,2)解析：令，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，－2a2时，恰有三个不同公共点．
12．答案：解析：设，,故在R上为增函数.又，由，即，得．
13．答案：解析：，令，又，令解得，所以在上单调增；在上单调减，．
14．答案：解析：．当时，则，当且仅当时等号成立，
故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是．
二、解答题：
15．解：（1）当时，，.
，．………3分
所以所求切线的方程为………5分
（2）令得，由于，，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
所以函数的单调递增区间是和.…………9分
要使在区间上单调递增，应有或，所以或，又，所以．…………14分
16.解：（1）当时，在上是单调增函数，符合题意．……2分
当时，的对称轴方程为，
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，的取值范围是，或．………………6分
（2），因在区间()内有两个不同的零点,所以，即方程在区间()内有两个不同的实根.………7分
设，
………9分
令，因为为正数，解得或（舍）当时,,是减函数；当时,，是增函数.…………11分
为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点,
故解得……14分．
17.解：(1)根据图得…………6分
(2)铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：…………9分
令得，．所以在上单调递减；在上单调递增,…12分
所以当时，有最小值.
因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊．…………14分
18.解：（1）由题设知，∴令得，
当时，，故在区间（0，1）上单调减；
当时，，故在区间（1，+∞）上单调递增，…………4分
因此，是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为…………5分
(2)设，则，
当时，因此，在内单调递减，…………7分
当时，即；当时，即；
当时，即…………11分
（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意恒成立即从而得.…………16分
19.解：（1）因为①当时，，
解得到；解得到或．
所以在和上单调递减，在上单调递增，
从而在处取得极大值．又，
所以在上的最大值为2．…………4分
②当时，，当时，；当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为2．…………8分
（2）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且．
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即：．（