太谷区2023-2024学年第二学期期中质量检测试题
八年级数学
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向。下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．已知中，、、所对的边的长分别是、、，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
4．是不等式的一个解，则的值不可能是（）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．下列说法正确的是（）
A．等腰三角形的中线，高线、角平分线重合
B．若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加
C．等腰三角形两底角的平分线相等
D．有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
6．关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（）
A． B． C． D．
7．如图，已知，若用“”判定Rt和Rt全等，则需要添加的条件是（）
A． B． C． D．
8．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于，设打折销售，则下列正确的是（）
A．依题意得 B．依题意得
C．该商品最少打7折 D．该商品最多打7折
9．如图，，若和分别垂直平分和，则等于（）
A． B． C． D．
10．如图，在中，是线段上（不含端点）的动点．若线段长为正整数，则点的个数共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是______．
12．如果，那么______（填“”或“”或“=”）。
13．若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是______．
14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数为______．
15．如图，等腰中，于点，点在边上，点在的延长线上，若，则的长为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题10分）
（1）解不等式：。
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
17．（本小题8分）
已知：Rt中，．
（1）请你用尺规作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的长．
18．（本小题7分）
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的纵坐标为．
（1）求点的横坐标及的面积；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
19．（本小题8分）
如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出；
（2）与关于原点对称，请画出．
（3）在（2）的条件下，四边形的面积为______．
20．（本小题7分）请把下面的证明过程补充完整
如图，在中，是角平分线，是高，、相交于点，求证：．
证明：平分（已知），
（①），
（已知），
（②），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（③），（直角三角形的两个锐角互余），
（④），
（⑤），
（⑥），
（⑦）．
21．（本小题10分）
如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
22．（本小题12分）
研学是一种走出校门开展研究性学习和旅行体验相结合的校外实践活动。某学校拟向公交公司租借、两种客车共12辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加研学活动．其中，若每位老师带队20名学生，则还剩35名学生没老师带：若每位老师带队22名学生，就有一位老师少带5名学生。
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）若要求型车的数量不少于型车的2倍，型车的租金为600元/辆，型车的租金为450元/辆，那么租借型车多少辆时，可使支付的租车费用最低？并求出最低费用．
23．（本小题10分）综合与实践
【问题情境】在一次数学活动课上，数学兴趣小组以两个形状相同的等腰三角形为主题进行探究，
【特例探究】
如图1，和是等边三角