10.2离散型随机变量及其分布列、均值、方差
考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
答案B根据均值E(X)=i=14xipi,方差D(X)=i=14[xi-E(X)]2·pi
选项
均值E(X)
方差D(X)
标准差D(X)
A
2.5
0.65
0.65
B
2.5
1.85
1.85
C
2.5
1.05
1.05
D
2.5
1.45
1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
2.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
1
1
p
则当p在(0,1)内增大时,()
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
答案D本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.
由题意得E(ξ)=0×1?p2+1×12+2×
D(ξ)=0?12+p2·1?p
=18[(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·
=-p2+p+14=-p?1
由01?p21,0p21,1?p
3.(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=
答案1;8
解题指导:由古典概型概率计算公式求得m+n+4的值,再利用概率公式求出m,从而得n的值,进而求出m-n;利用超几何分布的概率公式分别求出ξ=0,1,2的概率,然后利用数学期望公式即可得到结果.
解析∵P(ξ=2)=C42Cm+
∴m+n+4=9,
又∵P(一红一黄)=C41·Cm
∴n=2,
∴m-n=1.
P(ξ=0)=C52C92=1036=518,P(ξ=1)
∴E(ξ)=518
4.(2024北京,18,13分,中)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数
0
1
2
3
4
保单份数
800
100
60
30
10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立,用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望EX;
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中EX估计值的大小.(结论不要求证明)
18
解析
(1)解法一(直接法):由题意可知“一份保单索赔次数不少于2次”的概率P=60+30+10800+100+60+30+10=1
解法二(间接法):由题意可知“一份保单索赔次数不少于2”的对立事件为“一份保单索赔次数少于2”,则所求概率为P=1-800+100800+100+60+30+10=1-9001000=
(2)(i)由题意可知毛利润X的可能取值为0.4,-0.4,-1.2,-2,-2.6.
P(X=0.4)=8001000=45,P(X=-0.4)=1001000
P(X=-1.2)=601000=350,P(X=-2)=301000
P(X=-2.6)=101000=1
所以X的分布列为
X
0.4
-0.4
-1.2
-2
-2.6
P
4
1
3
3
1
EX=0.4×45+(-0.4)×110+(-1.2)×350+(-2)×3100
(ii)由题意知该情况下一份保单保费=0.4×45×(1-4%)+0.4×15×(1+20%)=0.403
毛利润的数学期望=0.122+(0.4032-0.4)=0.1252,
因为0.12520.122,
所以该情况下一份保单毛利润的数学期望大于EX.
5.（2023课标I，21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是