专题十概率
10.1随机事件、古典概型与条件概率
考点1随机事件的概率
1.(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.?
14
答案
1
解析若甲总得分小于2,则甲得0分或1分,记甲、乙所选卡片数字大小为有序数对(a,b),可固定甲卡片数字顺序为1,3,5,7,然后将乙所选卡片数字进行全排列,共A44=24
甲得0分时,一定是(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),
甲得1分时,符合条件的有
①(1,2),(3,4),(5,8),(7,6),
②(1,2),(3,6),(5,8),(7,4),
③(1,2),(3,6),(5,4),(7,8),
④(1,2),(3,8),(5,6),(7,4),
⑤(1,4),(3,2),(5,6),(7,8),
⑥(1,4),(3,6),(5,2),(7,8),
⑦(1,4),(3,6),(5,8),(7,2),
⑧(1,4),(3,8),(5,6),(7,2),
⑨(1,6),(3,4),(5,8),(7,2),
⑩(1,6),(3,4),(5,2),(7,8),
(1,8),(3,4),(5,6),(7,2),
共11种.
综上,符合条件的共12种,所以甲总得分不小于2的概率为1-12A44
2.(2023北京,18,13分,中)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.
时段
价格变化
第1天
到第
20天
-++0---++0+0--+-+00+
第21天到第40天
0++0---++0+0+---+0-+
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)
解析(1)由题表得这40天内该农产品价格“上涨”的天数为16,估计该农产品价格“上涨”的概率为1640
(2)由(1)估计该农产品价格“上涨”的概率为25
由题表估计该农产品价格“下跌”的概率为1440=720
所以所求概率为C4
(3)第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
详解:因为该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响,且第40天的价格“上涨”,所以只需统计前40天中价格“上涨”的次日的价格变化情况.由题表知价格“上涨”的次日价格“上涨”的天数为4,价格“下跌”的天数为2,价格“不变”的天数为9,所以第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
3.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为502000
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所