试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
2024年北京高考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
2．已知，则（????）．
A． B． C． D．
3．圆的圆心到直线的距离为（????）
A． B． C． D．
4．在的展开式中，的系数为（????）
A． B． C． D．
5．设，是向量，则“”是“或”的（????）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设函数.已知，，且的最小值为，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（????）
A． B．
C． D．
8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（????）.
A．1 B．2 C． D．
9．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（????）
A． B．
C． D．
10．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（????）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
11．抛物线的焦点坐标为．
12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为．
13．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．
14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．
15．设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
①若an与bn均为等差数列，则
②若an与bn均为等比数列，则
③若an为等差数列，bn为等比数列，则
④若an为递增数列，bn为递减数列，则
其中正确结论的序号是.
三、解答题
16．在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
19．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
20．设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
21．已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．