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2024年北京高考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
2．已知，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
3．圆的圆心到直线的距离为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
4．在的展开式中，的系数为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
5．设，是向量，则“”是“或”的（????）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、数量积的运算律、垂直关系的向量表示
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
6．设函数.已知，，且的最小值为，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
7．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（????）.
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直
【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离.
【详解】如图，底面为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设，
分别取的中点，连接，
则，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
过作的垂线，垂足为，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由题意可得：，则，即，
则，可得，
所以四棱锥的高为.
当相对的棱长相等时，不妨设，，
因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在.
故选：D.
9．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
10．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】描述法表示集合、三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域