高考达标检测（四十九）离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、选择题
1．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0p1p2eq\f(1,2)，则()
A．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)
B．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)
D．E(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)
解析：选A根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，
∵0p1p2eq\f(1,2)，∴E(ξ1)E(ξ2)．
令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，
所以f(p1)f(p2)，即D(ξ1)D(ξ2)．
2．随机变量X～N(9，σ2)，P(X6)＝0.2，则P(9X12)＝()
A．0.3 B．0.4
C．0.49865 D．0.9973
解析：选A因为P(X6)＝0.2，
所以P(6X9)＝0.5－0.2＝0.3，
所以P(9X12)＝P(6X9)＝0.3.
3．已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)＝()
A．1 B．0.6
C．2.44 D．2.4
解析：选C因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，
所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
4．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，则a＋b的值是()
A．1或2 B．0或2
C．2或3 D．0或3
解析：选B由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
E(X)＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,20)×1＋eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,20)×3＋eq\f(1,5)×4＝eq\f(3,2)，
D(X)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,2)))2＋eq\f(1,20)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))2＋eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))2＋eq\f(3,20)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))2＋eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))2＝eq\f(11,4).
由D(η)＝a2D(X)，得a2×eq\f(11,4)＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×eq\f(3,2)＋b，
得b＝－2，此时a＋b＝0.
当a＝－2时，由1＝－2×eq\f(3,2)＋b，得b＝4，此时a＋b＝2.
5．已知甲、乙两个工人在同样的条件下生产某种材料，日生产量相等，每天出废品的情况如表所示，则下列结论正确的是()
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A．甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些
B．乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的产品质量好一些
解析：选B根据离散型随机变量的分布列可知甲生产的产品出废品的平均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
乙生产的产品出废品的平均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，
结合实际可知乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些，故选B
6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于()
A.eq\f(126,125) B.eq\f(6,5)
C.eq\f(168,125) D.eq\f(7,5)
解析：选B由题意X可取0,1,2,3，
且P(X＝0)＝eq\f(33,125)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(9×6,125)＝eq\f(54,125)，
P(X＝2)＝eq\f(3×12,125)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8