国家开放大学《几何基础》综合测评1-2参考答案
综合测评1
1.两个点列间射影对应由(三)对应点唯一确定。
2.设(AC,BD)=2,则(AB,CD)=(-1)。
3.共线四点的调和比为(-1).
4.若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比().
A.不等
B.1
C.相等
D.-1
5.A,B,C,D为共线四点，且(CD,BA)=k,则(BD,AC)=().
A.1/k
B.k
C.1-(1/k)
D.(1-k)/k
6.已知两个一维图形()对不同的对应元素，确定唯一一个射影对应.
A.3
B.1
C.2
D.4
7.两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比().
A.-1
B.1
C.相等
D.不等
8.以为方向的无穷远点的齐次坐标为().
A.(1,0,0)
B.(1,-2,0)
C.(1,1/2,0)
D.(1,2,0)
9.已知A、B和的齐次坐标分别为(5,1,1)和(-1,0,1),求直线上AB一点C,使(ABC)=-1,若C=A+λB,求出λ。
解：,A(x,y)=(5,1),B(x,y)=(-1,0)
设C(x,y)利用(ABC)=AC/BC,
,解得：x=2
解得：y=1/2
则C点齐次坐标为(2,1/2,1)
因为
所以λ=1
10.已知直线3x+4y+1=0与2x+y=0,求过两直线的交点与点(2,1,0)的直线方程。
解：两直线3x+4y+1=0与2x+y=0的齐次坐标形式分别为3x1+4×2+x3=0与2x1+x2=0,则交点为(-1,2,-5)
于是过点(-1,2,-5)与(2,1,0)的直线方程为
5x1-10x2-5x3=0
化简得x1-2x2-x3=0
11.设三点的坐标分别为(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,1),且(AB,CD)=2,求点C的坐标。
解：因为A=(1,2,3),B=(-1,2,1),则由
于是λ?=1
设C=A+λ?B,已知(AB,CD)=λ?/λ?=2
于是得λ?=2
所以C=A+2B=(3,-1,3)
12.求证P?(3,1),P?(7,5),P?(6,4),P?(9,7)成调和共轭。
所以，P?(3,1),P?(7,5),P?(6,4),P?(9,7)成调和共轭
13.设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC,BC于L,M不用笛沙格定理，证明YZ,BL,CM共点。
证明：如图，在完全四点形ABCD中，边AC上的四个点A、C、Y、L是一组调和点，即(AC,YL)=-1
又在完全四点形YBZL中，设LB与YZ交于N,MN交YL于C′,边YL上的四点Y、L、C′、A是一组调和点，即(YL,AC′)=-1
由于(YL,AC′)=(AC,YL)=-1
故C=C′
所以YZ、BL、CM共点。
14.若三角形的三边AB、BC、CA分别通过共线的三点P,Q,R,二顶点与C各在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动。
证明：如图所示，取Q为透视中心，则(B,B?,B?,…)(C,C?,C?,…)
于是P(B,B?,B2,…)AR(C,C?,C?,…)
在这两个摄影线束中，PR是自对应元素，所以P(B,B?,B2,…)AR(C,C?,C?,….)
两个透视对应的线束对应直线的交点A,A1,A2共线，即顶点A也在一条直线上移动。
综合测评2
1.给定无三点共线的(5)点，可决定唯一一条二阶曲线。
2.二阶曲线×2—2xy+y2-y+2=0是(抛物线)。
3.两个不共心的成射影对应的线束，对应直线的交点的全体是(一条二阶曲线)。
4.若点P在二次曲线上，那么它的极线是的(切线)。
5.由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过(中心)。
6.极线上的点与极点()。
A.可能不共轭
B.不可判定
C.不共轭
D.共轭
7.无穷远点关于二次曲线的极线成为二次曲线的()。
A.直径
B.切线
C.半径
D.渐近线
8.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设()。
A.无关
B.以上都不正确
C.矛盾
D.等价
9.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，这个命题在欧式几何内不与()等价。
A.过直线外一点能做而且只能做一条直线与已知直线平行
B.过直线外一点又无穷多条直线与已知直线平行
C.三角形内角和等于两直角
D.直径对应的圆周角是直角
10.三角形内角和等于180度与()。
A.欧氏平行公设等价
B.与椭圆几何平行公设等价
C.不可判定